模拟构造，引发猜想

数学中有许多问题与现实生活中的很多现象有相似之处，由于受到生活中有关的客观事物、模型或方法的启示，可依据他们与数学对象或问题之间的相似性，通过模拟，提出合理的猜想，构造出有关的数学模型，使问题获得解决.

例 5 证明不等式

m1x1 + m2 x2 +Λ +mn x n

m +m

+Λ +m m m m

(

m1 + m2 +Λ +mn

) 1 2

n > x₁ 1 x₂ 2 Λ x _n n

成立（其中xi ＞0，mi ＞0，i = 1，2， ，n）.

这个不等式的证明，用常规方法颇有难度.但经过仔细观察，发现不等式左边底数的形式类似于质量分别为 m1，m2，⋯，mn 的 n 个质点的重心横坐标的形式.因此只须考虑这 n 个质点是怎样分布的即可.

我们将原不等式加以变形：

m1x1 + m2 x2 +Λ +mn xn

m1 + m2 +Λ +mn

> (x^m1 x^m2 Λ x^m ) 1

1 2 n

n

m1 + m2 +Λ +mn

loga

m1x1 + m2 x2 +Λ +mn xn

m1 + m2 +Λ +mn

> ml loga x1 + m2 loga x2 +Λ +mn loga xn

m1 + m2 +Λ +mn

（其中 a＞1）.（*）

故可猜想这n个质点是分布在曲线y = log a x（a＞1）上的.这n个质点的重心G（x0 ，y0 ）的横坐标x0，即为（ * ）式左边对数的真数；重心 G（x0

，y0）的纵坐标y 0，即为（ * ）式的右式.欲证（ * ）式成立，只须证得曲线y＝logax（a＞1）是向上凸的即可. 这由对数的性质极易得到，从而原命题得证.

在着手解题之前，引导学生大胆地“猜一猜”，对于提高学生的解题能

力，培养学生的创造性思维和勇于探索的精神都是大有裨益的.应当鼓励学生大胆猜想，并且结合教学内容，“教学生学会猜想”.但是，值得指出的是， 数学猜想是根据直觉判断认为可能成立，而又未经过严格证明的命题.猜想具有两重性，它既有引导我们走向成功的一面，也有将我们的思维引入歧途的一面.因此，猜想必须证明.要将猜想与证明有机地结合起来，“既教猜想， 又教证明”，以防止学生出现“以猜想代替论证”的逻辑错误.对由猜想所得出的各种结论，我们有时可以用演绎法予以推证，有时也可以用反证法来筛选和淘汰，有时还可以用数学归纳法来给出证明.具体方法的选择和运用限于篇幅，这里就不再一一赘述了.