设计各种层次的综合性试题，考查综合运用各种知识解决问题的能 力

考生解决这类问题的过程是综合运用各种能力的过程，因此，高考中对能力的考查也应强调综合考查.

例4 已知过原点O的一条直线与函数y = log8x的图象交于A、B两点，

分别过 A、B 作 y 轴的平行线与函数的图象交于 C、D 两点.

（Ⅰ）证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；

（Ⅱ）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.

本题考查对数函数的图象与直线的位置关系.两条平行于 y 轴的直线，如果与两个不同的对数函数的图象分别有两个交点，若其中一个对数函数的图象中的这两点的连线通过原点，则另一个对数函数的图象中的两点也必然通过原点.这是由于两个对数函数f（x） = loga x、f（x） = logb x之间有这样的

关系：log x = logb x . 在此，很难分清是用代数方法研究几何问题，还是用

a log ba

几何方法研究代数问题，这是考查综合运用数学知识的能力和学习潜能的更高层次的要求.

例 5 设曲线 C 的方程是 y=x3－x，将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动t、s 单位后得曲线 C1.

（Ⅰ）写出曲线 C1 的方程；

（Ⅱ）证明：曲线C与C 关于点A（ t , s ）对称；

1 4 2

t 3

≠0.

（Ⅲ）如果曲线C与C1有且只有一个公共点，证明：s = 4 －t，且 t

本题设计思想是试题能够体现代数表述及其推理与其几何背景的平衡， 根据这一立意，命题选取了考生熟悉的平面曲线的平移、对称和旋转以及相互之间的关系作为出发点，讨论相应的代数表述和有关函数基本特性的代数推理.本题以三次函数设定情境，将平移、对称、相交

等概念有机地结合在一起，讨论曲线C和C1之间的关系.本题很难按其所涉及具体的知识点、按一般的分类将其归入代数或解析几何类试题，而是把中学教学里函数及图象的基本概念、基本性质与曲线的几何变换（平移、中心对称）的性质，以及用代数方程研究曲线位置关系的思想方法等，许多重要内容融合在一起，命题颇具创意.