探索轨迹变式

对由字母常数作为已知条件的轨迹题，当动点的轨迹方程确定后，其轨迹形状往往随字母常数（实为参数）的取值不同而变化.几何画板为此提供了丰富的变式素材.

例2 已知点P是圆X² ＋y² = R ² 上的动点，定点 A（a，0）（a＞ 0）.若

∠POA 的平分线交 PA 于 M，试求点 M 的轨迹方程.

如图 3，拖动点 A 即可改变 a 的值，可观察轨迹是否发生质变（动画 1）. 改变点 P 的运动形态，也可看出轨迹是否变化：如让点 P 沿 x=-1 运动（动画2）就是1999 年全国高考压轴题，则可发现轨迹立即发生质的飞跃.从画板上看，学生多以为轨迹是抛物线型，即使拖动点 A 也未发现轨迹有质变.此时引导学生定量分析求解后，方知直觉结论的“或然性”，进而有助于科学世界观的形成.

高考压轴题在画板辅助下，竟然如此“简单”，这不得不令学生“兴奋”. 至此他们群情激昂，纷纷使用几何画板给出点 P 形形色色的运动规律，大胆地进行变式思维，尽情地做“数学实验”，饱尝现代化教学手段酿制的甘露. 有的将角平分线演变为高线、中线尝试轨迹的变化，有的将点 A 拖到 x 轴负半轴进行尝试与探索⋯⋯.这样的轨迹变式，使学生开阔了眼界、活跃了思维，同时也激发了探索发现热情.可见，学生学得的不只是一道题目的解法， 而是把握了处理一类问题的规律，达到充分挖掘习题智育功能之目的.