三、位序-规模法则（Rank－Size Rule）

位序-规模法则从城市的规模和城市规模位序的关系来考察一个城市体系的规模分布。

最早是 1913 年奥尔巴克（F.Auerbach）发现五个欧洲国家和美国的城市人口资料符合下式的关系：

Pi R i = K （1）

式中 Pi 是一国城市按人口规模从大到小排序后第 i 位城市的人口数；Ri 第 i 位城市的位序；K 是常数。

1925 年罗特卡（A.J. Lotka）发现美国符合：

P R ⁰.93 = 5 000 000

（2）

他给出了一个比奥尔巴克的约束性方程能更好地拟合美国 1920 年的100 个最大城市的模式。罗特卡的贡献在于对位序变量允许有一个指数。

1936 年在辛格（H.W. Singer）的研究中才出现一般转换公式：

lgR i = lgK - qlgPi （3）

（3）式相当于

q

i i

（4）

1949 年捷夫（G.K.ZiPf）提出在经济发达国家里，一体化的城市体系的

城市规模分布可用简单的公式表达：

Pr =

P1 （5）

R

式中 Pr 是第 R 位城市的人口；P1 是最大城市的人口；R 是 Pr 城市的位序。这样，一个国家的第二位城市的人口是最大城市人口的一半，第三位城

市是最大城市人口的 1/3，依次类推。这样的位序-规模分布的图解点，表示

在双对数坐标图上时，就成为一条直线。假如一个国家有很强的首位度，则城市规模分布曲线就明显偏离位序-规模法则，在强大的首位城市以下缺少中间等级的城市。

捷夫的模式并不具有普遍意义，但作为一种理想状态，已被很多人接受。现在被广泛使用的公式实际上是罗特卡模式的一般化：

P = P1 或 P = P ·R^-q

（6）

i q i 1 i

i

这里， Pi 是第 i 位城市的人口； P1 是规模最大的城市人口； Ri z 第 i 位城市的位序； q 是常数。

捷夫模式是 q=1 时的特例。对（6）式作对数变换：

lgPi = lgPi - qlgRi （7）

（6）和（7）式对概括国家和区域的城市规模分布具有相当的普遍性， 在实际研究中有广 泛的用处。当你把一个城市体系中的每个城市按位序和规模落到双对数坐标图上时，你就已经对这个城市体系的规模分布有了初步的概念。通过散点图可以对城市的规模等级作客观的划分。然后进行 y=a+bx 形式的回归分析。回归所得的各项结果都很有用。回归的相关系数一般很大， 因为，城市的位序本来就是按规模排列的，再加上城市规模以对数尺度表示时，人口规模量级被大大缩小，因此位序与规模之间有一种天然的相关关系。其相关系数的大小不能说明城市规模分属什么类型。a 值的大小在坐标图上是回归线的截距，b 值是回归线的斜率。|b|值接近 1，说明规模分布接近捷夫的理想状态；|b|值大于 1，说明规模分布比较集中，大城市很突出，而中小城市不够发育，首位度较高；|b|值小于 1，说明城市人口比较分散，分布在各等级城市里，高位次城市规模不很突出，中小城市比较发育。当进行多年对比时，|b|变大，说明城市规模分布趋于集中的力量大于分散的力量；|b| 变小，则说明分散的力量大于集中的力量。各城市在回归线上的位置，即城市规模的实际值与理论值之间的正负离差，对判断各城市的发展状况和发展前景也有一定参考价值。把城市职能的特点和规模分布结合起来，则可以较好地解释城市规模分布的现状特点。

图 7－2 是美国 1790—1950 年城市位序-规模分布的演变。在这 160 年的漫长时间里，美国的城市体系始终以位序-规模分布形式稳定地发展，并没有发生明显的类型转换。但从四个典型城市的位序变化看，城市之间的发展是不平衡的。

图 7－3 是日本高阪宏行对新泻县城市位序-规模分析的实例。他用实际资料得到 1955、1965 和 1975 年的回归方程。然后用马尔柯夫链模型对各城市作人口预测，对预测后的城市人口又作 1985 和 1995 年的回归分析，结果如下：

由此得到结论：①各年回归的相关系数都很高，规模分布符合位序-规模

分布类型；②高位序城市人口在不断增加，特别是最大城市在前 20 年中平均

人口的增长绝对量在上升，但增长速度在下降，所以 1975 年后估计增长的绝对量呈下降趋势；③斜率 q 在不断增加，人口分布日益集中是总趋势，转折点在 4—5 万人口规模的城市，比这还小的城市人口有下降现象。前 20 年斜率增加的速度在加快，后 20 年在放慢，而且斜率越来越接近于 1，说明集中的力量虽然一直在起主要作用，但力度趋于削弱，逐步达到集中与分散的力量趋于平衡的状态。

在应用位序-规模分布模式分析具体问题时，必须注意可以有两种截距， 一种是lg Pi = lg Pi − q lg Ri 情况下，截距lg Pi 是最大城市的人口数的对数值， 是已知的；另一种是lg Pi = a − q lg Ri 情况下，a 是待求的系数，代表的是回归在误差平方和最小条件下，最大城市的理论值。这两种不同的截距所得到的回归方程是不同的。采用前者时，所得方程的相关系数会低于后者，采用后者时，第一大城市的理论值可能大大偏离实际值，究竟用哪一种，应根据不同目的慎重选择。