比尔奇

乔斯特·比尔奇（1552—1632）引入了一种粗糙的反对数表，这些数的对数构成了一个自然数列。这个系统完全可能独立于耐普尔，尽管它晚六年才初次发表（1620 年），但是它确实很低劣，因此很快就黯然失色。刻卜勒高度赞扬耐普尔，但是他按自己的思路构造表并于 1624—25 年发表，后来又收入他的《鲁道夫数学用表》（Rudolphine Tables）。

及至十七世纪后期，早期这些麻烦的计算对数的方法由于应用了对数级数而被废弃。对数级数乃基于对数就是指数这一认识，它使得能够只要对收敛级数的足够多的项求和，即可得出任何所需精确度的对数。沃利斯首先一般地给出对于 log（1＋x）的重要级数，他还得出了它的一种修正形式，具

有收敛较迅速这种实用上的优点。

解析几何学：(196)笛卡尔

笛卡尔的著作《几何学》（La Geometrie），最初是作为他的《方法谈》

（Discours de la Mdthode）（1637 年）的附录而问世的。（参见 David E. Smith 和 Marcia L. Latham 英译的有注释的摹真本，Chicago 和 London， 1925。）它分成三个部分，第一、二部分论述解析几何，第三部分主要论述方程理论。本书故意写得有些隐晦，许多分析和蕴涵的结果均被省略，“以便给后人留下发现它们的乐趣”。

笛卡尔首先在几何学里的直尺圆规作图法和算术里的标准过程之间建立了类比；他指出了把代数思想和记法引进几何的优越性。例如，他用字母标示直线段。他还构成了字母或者它们的组合的乘积和幂，但并不试图对它们作几何解释（如面积或体积）；这样，他能够运用诸如 a4，a5，a6⋯⋯这样的量，它们对应于未知的几何图形，而如果没有这种规定，它们将是无法理解的。为了标示这种幂，他采用了我们今天使用的那种书写指数的系统，只是他随便地使用 aa 或 a2。他通常使用字母 a，b，c⋯⋯标示已知的或不变的线段，用 x，y，z 标示未知的或变化的线段。

为了解几何问题，笛卡尔推荐采用分析法（希腊人已经知道，并由巴布斯提出过），这种方法先假定问题己解出，然后写出在作图中涉及到的各种直线的长度之间所必定成立的全部隐关系。每一个关系都由一个方程表示；因而该问题的解便归结为所有这些联立方程的解。对于待确定的问题来说，联系未知直线的方程的数目必定等于该问题所涉及的这些直线的数目。

笛卡尔把他的方法应用于巴布斯提出的一个古典几何学家都解过的问题，巴布斯自己只能解它的一些特殊情况。它的一般形式为：给定若干固定直线和同样数目的变直线，这些变直线每一条都和一条固定直线构成一个已知角并全都通过一个点，试求为使 197 某几根变直线的长度相乘的积与其余变直线的乘积成一定的比，该点所必取的轨迹。笛卡尔表明，这种问题所涉及的一切变长度均可用两个变长度（他称之为 x 和 y）以及该问题的常量和已知数据等来表示。因此，两个乘积之定比可以表示成关于 X 和 y 及其乘积和幂的方程。当这两个量有一个已知时，另一个也就确定；这样的方程是所要求的轨迹的分析对应物。“如果我们逐次取直线 y 的无限多个不同的值，则我们就得到直线 X 的无限多个值，因而就得到无限多个不同的点，而利用这些点就能作出那条所要求的曲线。”

我们在这里已经看到了坐标几何学的萌芽。在这种几何里，用平面上一个点离两个固定轴的距离 X 和 y 来定义这个点的位置，而 X 和 Y 之间一个给定的关系则对应于该点所必取的一个确定的几何轨迹，反之亦然。这个概念是笛卡尔对几何学的带根本性的贡献。代数学对几何学的应用并不新奇，可以追朔到许多世纪之前。然而，近代所用的那种一个点的横坐标和纵坐标从一个公共原点引出的任意坐标轴在笛卡尔的书中并没有出现。他在图形中利用任意方便的直线作为参考。在乎面问题中利用两根轴这种现代方法是在十八世纪引入的，“横坐标”和“纵坐标”这两个术语也在那时开始使用。

巴布斯问题的任何特殊情形所造成的方程的次数，都不会超过方程每一边相乘直线的数目。笛卡尔表明，当问题涉及三四条直线时，所求的轨迹是

二次曲线，然而随着直线数目增加，它成为甚至更高次的曲线。在书的第二部分中，他着手讨论这些曲线，以及用人工方法作出它们的可能性。

古典几何学家尽管承认圆锥曲线，但是他们一般都不考察那些需要用直尺和圆规之外的机械装置来作图的曲线。可是，笛卡尔坚持认为，任何曲线都是几何学应当研究的对象，只要它的形成方式能够清晰地构想出来，因为在几何学里，论证的确切性全在于此。如果所有“机械的”曲线都在排除之列，那么也没有理由保留直线和圆，因为它们的作图也需要一把直尺和一只圆规。因此，笛(198)卡尔把凡是由两条运动速率彼此成一确定的已知关系的运动直线相交所确定的曲线都列入他的研究范围。这些几何曲线的性质无论在哪种情况下都可由一个含两个变量的方程来规定。然而，他仍然排除了一些“几何”曲线，这些曲线是由其关系无法确切说明的独立运动形成的。这类曲线包括希腊人的许多特殊曲线（如螺线和割圆曲线）。

笛卡尔按几何曲线的方程把它们依次分类：二次的（第一类）、三次和四次的（第二类）、五次和六次的（第三类），如此等等。

笛卡尔描述了一种机械装置，它的两个直规彼此重迭地滑动，它们交点的轨迹形成一条双曲线；通过用这种双曲线或任何其他第一类曲线去代替其中一个直规，笛卡尔想由此把一条第二类曲线作为焦点的轨迹得出，并以类似方式应用这种曲线来得出一条第三类曲线，如此等等。在回到巴布斯问题上时，笛卡尔表明了所需求的轨迹类对所涉及的变直线的数目有怎样的依从关系，他还研究了在最简单的情况下，若干种类型二次曲线出现的条件。这一部分几乎详尽无遗地论述了圆锥曲线解析几何学的基本原理。

笛卡尔然后还说明了怎样确定一条已知方程的曲线上任一给定点处的法线（因而也是切线）的方向。他的方法是术一个圆，它恰好在该给定点上切触该曲线而不切割后者，于是它的方程与曲线的方程只有一对公共根。这个圆的圆心位于该所要求的法线之上，从而确定了它的方向。

笛卡尔在结束第二部分时论述了一些具有重要光学性质的曲线，它们后来称为“笛卡尔卵形线”。这种曲线通过回转而产生反射或折射面，它们使得从一个点光源发出的光线全都通过一个实的或虚的点像。

在书的第三部分里的方程理论中，作为结果之一还有所谓的“笛卡尔符号法则”。按照笛卡尔的表述，这个法则是说，一个写成零型的方程（即所有项都在等号的一边）能有许多“真”根（即正的实根），个数多至等于相继项的符号从＋到-或从-到＋的变号次数，也能有许多“假”根（笛卡尔是指负的实根），个数多至等于在相继项中出现两个＋号或两个-号的次数。这个结果以前已有卡当部分地预言过；在确立了虚根的概念之后，人们才知道这个法则的局限性（笛卡尔本人也属于最早指出这一点的人）。第三部分里还(199)说明了，怎样可以通过对原方程作适当的变换，使根变号或者使根增加、减少，或者乘以或除以一已知数。这部分最后介绍了三次和双二次方程的图解法，它利用圆和抛物线之相交，还建议用更高阶曲线去解更高次的方程。