吉拉尔

然而，直到十七世纪人们才完全认识到，负根是实解。一个已知方程的根的个数一般地与方程的次数（方程中出现的未知量的最高次幂）相等这个规律是洛林的数学家阿尔贝·吉拉尔（1595—1632）发现的。他是从他所发现的方程的根和系数间的联系推导出它的。这些联系所根据的事实是：如果f（x）＝0 是一个 n 次方程，它的根为 a1，a2，a3，⋯an,xn 的系数为 1，那么

f（x）＝（X-a1）（x-a2）（x-a3）⋯（x-an）。

吉拉尔研究的这些结果发表在他的《代数中的新发明》（Inven- tion Nouveile en l’Algebre）（阿姆斯特丹，1629 年）。它们直接证明了到那时为止一直被忽视的虚根和负根的存在。但是吉拉尔发现，为了使根的总数达到方程的次数，以满足他提出的规律，还必须包括另外的根。吉拉尔注意到，方程的负根可以方便地用几何(192)方法表示为线段，其截取方向和与正根对应的线段相反。后来，这个思想被笛卡尔应用到一整系列问题上。吉拉尔还研究了球面三角形的性质，并且得出了一个以他命名的简单的公式，它给出这种三角形的面积。这个公式不久就由卡瓦利埃里给出了比较严格的证明。

托马斯·哈里奥特（1560—1621）在他身后出版的《实用分析术》（Artis Analyticae Praxis）（伦敦，1631 年）中，将维埃特的结果加以系统化， 并且沿着分析的路线进一步发展了它们。计算尺的发明者威廉·奥特雷德

（1575—1660）同年发表的《数学精义》（Clavis Mathematicae）成为一本标准教科书，牛顿最初就是从它开始接触数学的。