和应振动，泛音及其他

激起伽利略对声的物理发生兴趣的和应振动的研究，在十七世纪里取得了一定的进展，而在十八世纪里完成。与此密切有关的是，发现或者更确切他说解释了泛音即谐音，以及发现了与横振动迥异的固体中的纵振动，而早期研究者只知道横振动。

默森发现，一根振动着的弦除了基音而外还产生泛音。当然，当一根弦自由振动时，基音是明显的，但当这音一会儿变弱时，就很容易觉察出某些其他音比基音持续更长一点时间。这样，墨森(284)听到了比基音高的十二度音和十七度音。当墨森把这一发现写信告诉笛卡尔时，后者提出谐音或者说泛音可能是一根振动弦的每一部分各自的振动所引起的。牛津大学默顿学院的威廉·诺布尔和牛津大学沃德姆学院的托马斯·皮戈特约在 1673 年将这一想法付诸实验检验。显然，他们和笛卡尔完全无关，并且两人彼此也是独立的。约翰·沃利斯于 1677 年 4 月在《哲学学报》上首次报导了这些实验

（Vol.XII，pp.839—42）。沃利斯一开始先提到当时已是众所周知的事实： 如果弹拨或用弓拉提琴或者诗琴的一根张紧的弦，那末，若同一个乐器的或

者近在手边的另一根弦同第一根弦同度或者成某种简单的和谐关系，则这另一根弦便自动地振动起来。（沃利斯在跋中补充说，一根弦将不仅以此方式响应另一根弦，而且还响应象管风琴那样的管乐器所发出的和音。）诺布尔和皮戈特的这个新发现是，“这另一根弦是整个地这样颤动，还是其各个部分各自分别颤动，视它们跟这样弹拨的那根弦的整个还是其各个部分同度而定。”诺布尔和皮戈特的方法可以很容易地用图 162 来解释。设 AC 和 ag[图162]代表两根相邻的弦，并使 AC 振动所产生的基音相对 ag 的基音是高八度音，因此 AC 和 ag 的每一半同度。现在如果 ag 未用手指按动，而 AC 被弹拨， 那未 ag 的两半即 ab 和 bg 都将颤动，但中点 b 不动。这可以很容易地观察到， 只要把一个小纸片（称为“游码”）轻轻地缠在弦 ag 上面，然后将它从这弦的一端渐渐移向另一端。可以看到这纸片在 b 上是不动的。同样，如果弹拨弦 AD，而它发出的音相对弦 ad 的音是高十二度音，那未 ad 将按三等分即 ab、 bg 和 gd 进行振动，而点 b 和 g 保持不动。再者，如果 AE 相对 ae 是双高八度音，那未后者将按四等分即 ab、bg、gd 和 de 进行振动，而点 b、g 和 d 保持不动。如此等等。然而，如果 AG 相对 at 是高五度音，以致 AG 的每一半和 at 的每三分之一同度，那未当弹拨 AG 时，at 的每一部分 ag、ge 和 et 均将各自振动；而当弹拨 at 时，AG 的每一部分即 AD、DG 也将振动。随着划分次数增加，情形亦复如此，不过和谐程度有所减低，因此几乎觉察不出来。

图 162—泛音（1）(285)

沃利斯自己验证了这些结果，注意到当在一根弦划分成简单比（二分之一、三分之一，等等）的那些点上弹拨它时，不会象在别处弹奏时那样，产生一个清晰的音。他认为，当在别处弹拨时，声音所以清晰，必定是若干同度部分同时振动所使然；而在划分点上弹拨时，声音之不调和则必定是由于这些本来应当静止的点遭到扰动的缘故。

约瑟夫·索维尔（1653—1716）后来也独立地作出了诺布尔和皮戈特的发现，并进一步加以发展（1700 年）。他的实验部分地和他的两位前人相同， 但他利用一个一弦琴，轻轻地在几个静止点（图 162 中的 b、g 和 d）即他所称的波节上触动琴弦，从而产生很容易听出来的泛音。

图 163—泛音（2）

索维尔证明，一根弦能够沿其全部长度振动，象 AA（图 163（I）〕所示； 也可能如 BB〔图 163（II）〕所示，在该弦的各部分上沿相反方向振动，这些振动由波节 a、a1 即该弦处于静止的各点隔开。在第一种情形（AA）里， 弦产生其基音，在第二种情形（BB）里则产生泛音即谐音。最后，这两种振动也能够同时发生，象 CC[图 163（III）]所示。事实上，这正是常见的情形， 一般都不采取什么特殊的步骤去阻碍这两种类型横向振荡或者说振动的哪一种（Mem，del’Acad.des Sciences,Paris,1701, pp.347f.）。