第十二讲 简易逻辑问题（一）

“数学是锻炼思维的体操”。思维是大脑对事物的性质、它们之间的关系的认识过程。因为客观事物不是孤立存在的，是互相关联、互相影响的， 往往具有某种因果关系，所以思维使我们能够知道并没有直接感觉到的事物，预见事情的进程和发展结果。就是从一些已知事实，推断出一些合理的结论。

正确的思维，应该是确定的，首尾一贯的，无矛盾的和有根据的。“逻辑”就是思维的规律。本讲讨论的“逻辑问题”，主要是判断推理问题。

例 1 现有红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着，在桌子上排成一行，由甲、乙、丙、丁、戊五人，猜各包内珠子的颜色，每人只许猜两包。

甲猜：第二包是紫的，第三包是黄的； 乙猜：第二包是蓝的，第四包是红的； 丙猜：第一包是红的，第五包是白的； 丁猜：第三包是蓝的，第四包是白的； 戊猜：第二包是黄的，第五包是紫的。

事后，打开纸包，发现每人都只猜对了一包，并且每包都只有一人猜对。问他们各猜对的是哪一种颜色的珠子。

解 ： 根 据 题 意 我 们 列 一 个 表 ：

因为每包都只有一人猜对，第一包只有丙猜，所以丙猜第一包是红的猜对了。又因为每人只猜对一包，因此页第五包猜错了；而第五包由丙、戊两人猜，戊猜对了第五包是紫的。

由于第一包是红的，第四包只能是白的，因此，丁猜对了第四包，甲猜对了第三包。

甲、戊都猜错了第二包，只有乙猜对了第二包是蓝的。综上所述，甲猜对了第三包是黄的，乙猜对了第二包是蓝的，丙猜对了第一包是红的，丁猜对了第四包是白的，戊猜对了第五包是紫的。

说明：由于第一包只有一人猜，一定是猜对了。因此，确定第一包的颜 色，是解决这道题的突破口。解决问题，找到突破口是很重要的。用“列表方法”把繁杂的条件更加条理化，是解决“罗辑问题”的有效手段。

例 2 刘毅、马明、张健三个男同学都各有一个妹妹，六人在一起举行乒乓球混合双打练习。规定兄妹不许搭伴。第一盘是刘毅和小萍对张健和小英；第二盘是张健和小红对刘毅和马明的妹妹。推断刘毅、马明、张健的妹妹各是谁？

解：先列表分析，非兄妹关系画“×，兄妹关系画“√”，暂不能肯定

画“？”。

刘毅 × ？ ？

马明 × ？ ？ 张健 √ × ×

由表中可看出张健的妹妹是小萍。刘毅、马明的妹妹分别是谁只有两种可能：

第一，刘毅的妹妹是小英，马明的妹妹是小红。第二，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英。

对第一种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小红（马明的妹妹）。不合理。对第二种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小英。合理。

综合以上推断，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英，张健的妹妹是小萍。

说明：本题推断过程中，对可能的两种情况，进行－一检验，排除不合 理的情况，肯定合理的情况。这是采用了“穷举法”。下面我们用穷举法再讨论一道题。

例 3 王红、李智、张慧三名同学中，有一人在教室没其他同学的时候， 把教室打扫得干干净净。事后，老师问他们三人，是谁做的好事。王红说： “是李智干的”；李智说：“不是我干的”；张慧也说：“不是我干的”。后来知道他们三人中，有两人说的是假话，有一人说的是真话。你能断定教室是谁打扫的吗？

解：由题意知只有三种可能，

如果是王红干的，那么王红说的“是李智干的”是假话；李智说的“不是我干的”是真话；张慧说的“不是我干的”也是真话。不符合题意中“两假一真”条件。

如果是李智干的，那么王红说的“是李智干的”是真话；李智说的“不是我干的”是假话；张慧说的“不是我干的”是真话。也不符合“两假一真” 条件。

只能是张慧干的。这样王红、张慧说的是假话，李智说的是真话。符合“两假一真”。

例 4 A、B、C、D、E 五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），进行到中途，发现 A、B、C、D、比赛过的场次分别是 4，3，2，1。问这时 E 队赛过几场？E 队和哪个队赛过？

解：用图 12－1 表示各队之间是否比赛过。用平面上的点表示 A、B、C、D、E 队，两队比赛过，用两点连线表示，没有比赛过，则不连线。

A 赛过 4 场，A 与 B、C、D、E 均连线；B 赛过三场，除与 A 赛过，还赛过 2 场，因为 D 只赛过 1 场（和 A 队赛），因此 B 只能和 C、E 赛过；这样正好符合 C 赛过 2 场，D 赛过 1 场。由图看出这时 E 队赛过 2 场，E 队和 A、B 队赛过。

解法二：因为比赛一场，双方各计一次，因此，比赛过程中任何阶段， 各队比赛的场次数总是偶数。A，B，C，D 的场次数之和是 4＋3＋2＋1＝10， 是偶数，这时 E 赛过场次数一定也是偶数，有三种可能：0，2，4，因为 A 赛过 4 场，一定和 E 赛过。E 不可能赛 0 场；又 D 只赛过一场，和 A 赛过， 还没和 E 赛过，E 不会赛过 4 场。只能是赛过 2 场。E 和 A 赛过，B 赛过 3 场， 而 B 和 D 没赛过，B 一定和 E 赛过。

综合以上分析，E 赛过 2 场，和 A、B 各赛一场。

说明：用图表示所研究对象及其关系，是讨论逻辑问题的又一个重要手 段。用点表示所研究对象，用连线表示对象之间的某种关系。充分利用图形的直观性，便于说明问题。

例 5 老师要从甲、乙、丙、丁四名同学中选派两人去参加某项活动， 征求他们的意见，甲说：“我服从分配”；乙说：“如果甲去，那么我就去”； 丙说：“如果我不去，那么乙也不能去”；丁说：“我和甲，要去都去，要不去就都不去”。老师要都满足他们的要求，应选派谁去？

分析：我们把命题“如果具有条件 A，那么就有结论 B，”表示成：A⇒B， 符号“⇒”读作“推出”。根据题意老师应满足的条件是：

甲⇒乙（乙说），丙非⇒非乙，（丙说）这句话相当于乙⇒丙，甲⇔丁

（丁说）。把这些关系联系起来，很容易得出结论。

解 题目所要求的条件如下：

甲 ⇒ 乙 ⇒ 丙

χ

丁

显然，如果甲去或乙去，按条件四人都得去。不符合只派两人去的要求。所以甲、丁不去，派乙、丙二人去参加符合题意。

例 6 某参观团根据下列条件从 A、B、C、D、E 五个地方选定参观地点：

①若去 A 地，也必须去 B 地；②若去 E 地，A、D 两地也必须去；③D、E 两地至少去一地；④B、C 两地只去一地；⑤ C、、D 两地都去或都不去。问参观团最多去哪几个地方？

解：用符号⇒表示题意得，

从以上用符号“⇒”所表示的逻辑关系可以看出，如果去 E 或去 A 或去B，都推出非 D 且 D。（既去 D 地，又同时不能去 D 地）矛盾。因此 A、B、E 三个地方不能去。

去 C、D 两地，与题意不矛盾。所以参观团最多可以去 C、D 两地。

说明：用推出符号“⇒”表示题目中的逻辑关系，是很简明的。解题中 经常练习使用是大有益处的。