四、二进制的简单应用

二进制在计算机中有广泛的应用。这里略举几例，说明二进制的应用。

例 11 现有 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克的砝码和各一枚，问在天秤上能称多少种不同重量的物体？

解 用枚举法可以讨论此题。1，2，1＋2＝3，4，1＋4＝5，2＋4＝6，1＋2＋4＝7，⋯⋯，1＋2＋4

＋⋯⋯＋16＝31。可以称 1～31 克共 31 种不同重量的物体（只能是整克数）。用二进制研究此问题，更简便。砝码的克数正好是二进制的各数位的单

位：1，2，2²，2³，2⁴。用它们表示的最大数是 11111（2）＝2⁴＋2³＋2²＋2＋ 1＝31 而 11111（2）＝100000（2）－1＝2⁵－1＝31。不大于 31 的所有自然数都可以表示。

思考 用 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克，32 克，64 克在天秤上可称哪

些重物？

例 12 说明 2³⁰⁰－1 能被 7 整除。

证明 2³⁰⁰ －1＝100 0 －1＝111 1 ，

1 4 2

4（23）

1 4 2

4（23）

300个0 300个1

7＝8－1＝2³－1＝1000（2）－1＝111（2）；

300÷3＝100

114112143 1÷111＝110041400214 40301

300个1 100个1

所以 2³⁰⁰－1 能被 7 整除。

此题也可以用下面方法证明：2≡2（mod7） 2²≡4（mod7）

2³≡1（mod7） 2³⁰⁰＝（2³）¹⁰⁰≡1¹⁰⁰≡1（mod7）

2³⁰⁰－1≡0（mod7）。