例题分析

例 7 （1）有 5 个人排成一排照相，有多少种排法？

（2）5 个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排

法？

分析与解：（1）5 个人排成一排，从左到右共 5 个位置。第一个位置可从 5 个人中任选 1 人，有 5 种选法；第二个位置只能从剩下的 4 人中任选 1 人，有 4 种选法。同理，第三、第四、第五个位置分别有 3 种、2 种、1 种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有

5×4×3×2×1＝120

种排法。

（2）这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余 4 人可以

任意站位。仿照（1）中的分析可知共有

4×3×2×1＝24

种排法。

说明：自然数 1 到 n 的连乘积叫做 n 的阶乘，用 n！表示。例如 5！＝1

×2×3×4×5，4！＝1×2×3×4。于是，例 7 中的两个式子可简写作 5！＝ 120，4！＝24。

例 8 某条航线上共有 8 个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？

分析与解：每一种飞机票可看作起点在前、终点在后两城市间的顺序排列。第一步，确定起点城市，有 8 种选法；第二步确定终点城市，当起点选

定后，终点只有 7 种选法。根据乘法原理，共有

8×7＝56

种不同的排列方法。因此，这条航线上需要准备 56 种不同的飞机票。

由于两个城市按照起点在前、终点在后的顺序排列有 2 种，所以有两种飞机票。而它们的票价是一样的。因此，这条航线上应有 56÷2＝28 种不同的票价。

说明：从 n 个不同的元素中，任取 m（m≤n）个不同元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从 n 个不同的元素中取 m 个不同的元素的一个排列。所有排列的种数叫做排列数。例 8 中求飞机票种数问题，就是求从 8 个不同元素中，任取两个不同的元素的排列种数问题，一般可以运用乘法原理来求排列数。

例 9 用 0，l，2，3 这四个数，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

解法一：一个四位数可以看作是四个数字的一个排列。由于“0”不能作千位数，所以千位数只能从 1，2，3，这三个数中任取一个，有 3 种选法。再考虑到没有重复数字这一条件，百位、十位、个位三个位置分别有 3 种、2 种、1 种选法。根据乘法原理，可以组成

3×3×2×1＝18

个没有重复数字的四位数。

解法二：如果把数字 0，1，2，3 全部取出来排列，根据乘法原理，共

有

4×3×2×1＝24

种不同的排列。其中“0”在千位上的排列（这种排列不能看成四位数）有3×2×1＝6

种。所以符合条件的四位数就是

24－6＝18（个）

例 10 现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用它们挂在旗杆上作信号（顺序不同时表示的信号也不同），总共可以作出多少种不同信号？

分析与解：作出的信号可以按照挂出的小旗面数分成三类：

（l）只有一面小旗作信号，这样作出的信号有 3 种；

3＋6＋6＝15 种不同的信号。