二、抽屉原则的推广

李敏是光明小学六年级的学生，他的哥哥李聪正在读中学，是市数学奥校的学生。他俩在做一种游戏，哥哥拿出一付扑克牌，对弟弟说道：“你瞧瞧，这是一付扑克牌。我把两张王牌拿走，剩下四种花色共 52 张牌。你任意抽出一些牌，不让我看，只要告诉我牌的张数，我准能说出你手中牌的一个明显的特性，你要回答我这是为什么？”哥哥边说边抽掉了两张王牌放在一边，右手拿着剩下的牌伸到了小敏的面前。

小敏从哥哥手里的牌中抽出了一些牌，数了数说“五张”。哥哥立即回答：其中至少有两张的花色一样。”

小敏有些不以为然，说道：“这个道理谁不知道，只要把四种花色看作四个“抽屉”，五张牌看作五个“苹果”，苹果数比抽屉数大，根据抽屉原则就可以得出一定有两张或两张以上的牌是同一种花色。”

哥哥用称赞的口气肯定了小敏的回答，并叫小敏继续抽取。小敏又从哥哥手中抽出了四张牌，一共抽出了九张。

哥哥又立即回答说：“至少有三张牌花色相同。”

小敏看了看说：“对！”可是不知道为什么。小敏接着又抽出了八张牌，一共抽出了十七张牌。

哥哥又立即回答说：“至少有五张牌花色相同。”

小敏仔细看了看，又对了。他感到很奇怪，哥哥是怎么猜出来的，他恳求哥哥给他揭穿其中的奥秘。

哥哥思索了一下，慢慢地给小敏讲解了其中的道理。

开始抽出了五张牌，而牌的花色有四种，把花色比作“抽屉”，把牌比作“苹果”，根据抽屉原则，可以得出至少有两张牌是一种花色。小敏对后两种情况不了解，说明小敏以前只学了抽屉原则的最简单形式，抽屉原则还有其它形式。

我们仍旧把花色比作“抽屉”，把牌比作“苹果”。要把九张牌分成四种花色，相当于把九个苹果放入四个抽屉中。要使每个抽屉中苹果数尽可能地少，必须平均分配，这样每个抽屉中先放两个，还剩下一个。再把剩下的一个放到某一个抽屉中，这个抽屉里就有了三个苹果。对于任意的放法，有的抽屉里的苹果数可能要超过三个。所以说有一个抽屉中至少放了三个苹果。上面的意思可用一个简单的数学式子表示为：9＝2×4＋1。等式右边第一项中乘数 4 表示抽屉数，被乘数 2 加余数 1 得 3，而 3 就是有某一个抽屉中至少放入的苹果数。对于 17 个苹果放入四个抽屉的情形，可表示为 17＝4

×4＋1，也可作类似的分析而得出上面的结论。这就是为什么根据抽出的牌的数目就能立即说出相同花色数的特点的道理。

上面的分析和推理也可以推广到更一般的情形，并且同样把苹果看作元

素，把抽屉看作集合，我们可以得到抽屉原则更一般的形式：

原则 2 如果把多于 m×n 个元素按任一确定的方式分成 n 个集合，那么一定有一个集合中至少含有 m＋1 个元素。

说明：（1）这个结论的正确性是显而易见的。因为多于 m×n 个元素即最少有 m×n＋1 个元素分到 n 个集合中，如果没有一个集合的元素达到 m＋1 个，也就是每个集合中的元素至多有 m 个，那么 n 个集合的所有元素至多有m×n 个。这与已知条件矛盾，所以原则 2 的结论是正确的。

如果元素的个数只有 m×n 个，也按任意确定的方式分成 n 个集合，那么一定有一个集合中至少含有 m 个元素。
原则 1 可以看作原则 2 当 n＝1 时的特例。有了这一推广，运用抽屉原则就可以解决更多有趣的数学问题了。

例 7 某小学有 1100 名学生，而一年级（2）班有 49 名学生。那么可以

肯定，这个班至少有 5 人在同一个月出生，而全校至少有 4 人在同一日出生

（年、月可以不相同）

解：我们把一年中的 12 个月看作 12 个“抽屉”把－（2）班的 49 名学生看作 49 个“苹果”。由于 49＝4×12＋1，根据抽屉原则 2，一定有一个抽屉里至少放了五个苹果。也就是说，这个班至少有五名同学在同一个月出生

（年可以不相同）。

同样的道理，我们可以把一年中的 366 天（一年最多 366 天）看作 366

个“抽屉”，把全校 1100 名学生看作 1100 个“苹果”。由于 1100＞3×360

＋1，根据抽屉原则 2，一定有一个抽屉里至少放了四个苹果。也就是说，全校至少有四人在同一日出生（年、月可以不相同）。

例 8 椐信一个人的头发根数不会超过20 万根。某城市人口一百多万（假

设每人都有头发），证明这个城市中至少有 6 个人的头发根数一样多。

分析：如果你能具体指出张三、李四等六人的头发根数确实相同，问题就解决了。但是要找到这样的六个人几乎是不可能的。因此，我们还是要采用推理的方法。

我们把每一种头发根数看作一个“抽屉”，由于我们假设每人都有头发，这样头发根数可以有 1，2，3⋯⋯，200000。共有 20 万个抽屉，再运用抽屉原则 2 就不难找到问题的解答了。

证明：把头发根数看作“抽屉”，这样可以得到 20 万个抽屉，并对每个抽屉依次标上 1，2，3，⋯200000 之中的一个号码。把每个人看作“苹果”，按各人头上的头发根数归入相应编号的一个抽屉，由于一百多万大于 5×20 万，根据抽屉原则 2，这个城市至少有六个人的头发根数是一样多的。

例 9 一个口袋里放有红色、黄色或绿色三种颜色的玻璃球各若干个。现从中任意取出一些球。问至少要取出多少个球，才能保证其中有五个球的颜色是相同的？如果要保证其中六个球或七个球的颜色相同，又各至少应取出多少个球呢？

解：把红色、黄色、绿色三种颜色看作三个“抽屉”，把取出的球看作 “苹果”。要保证有五个球的颜色相同，也就是要保证有一个抽屉里有五个苹果。根据抽屉原则 2，取出的球应多于 4×3 个。即至少应取出 13 个球，才能保证其中有五个球的颜色相同。

其余两问留给读者作为练习。