（五）利用变形法求图形的面积

前面谈到的“割补法”的主要思路是：“割”下图形的某一部分，再将它改变位置后“补”在图形的剩余部分上，使图形变为一个面积容易求出的图形。而这里谈到的“变形法”，是区别于“割补法”的另一类等积变形。

其特点是不需要“割补”，只利用我们前面提到的结论作一系列等积代换， 便可解决问题。

例 1 在图 2－10 中，直线 CF 与平行四边形 ABCD 的 AB 边相交于 E 点， 如果三角形 BEF 的面积为 6 平方厘米，求三角形 ADE 的面积是多少？

分析与解 连 AC，因为 AB 平行 CD，AE 是三角形 ADE、ACE 的公共底边， 所以三角形 ADE 与三角形 ACE 的面积相等。

又因为 BC 平行于 AF，AF 是三角形 AFC 与三角形 ABF 的公共底边，所以三角形 ACF 与三角形 ABF 的面积相等。

从图 2－10 中可以看出

三角形 ACF 的面积＝三角形 ACE 的面积＋三角形 AEF 的面积，三角形 ABF 的，面积＝三角形 BEF 的面积＋三角形 AEF 的面积。

从上面这两个等式可以得到

三角形 ACE 的面积＝三角形 BEF 的面积、而三角形 BEF 的面积为 6 平方厘米，所以三角形 ACE 的面积也为 6 平方厘米，再根据三角形 ADE 与三角形ACE 面积相等这一结论，最后可知三角形 ADE 的面积为 6 平方厘米。

答：（略）。

例2 在图2—11的三角形ABC中， AE＝ 1 AC，CD＝ 1 BC，BF＝ 1 AB。

5 4 6

那么 三角形DEF的面积 ＝？ 三角形ABC的面积

分析与解 我们知道，如果三角形的底（或高）相等，那它们的面积比等于它们高（或底）的比。现在利用这一结论来解这个题。

在图 2－11 上添一条辅助线 AD（见图 2－12）。在图 2－12 中，三

角形ABC、ACD的高相等，而且CD＝ 1 BC，所以有

4

三角形ACD的面积 = 1

三角形ABC的面积 4

另外三角形ACD与三角形CDE的高相等，而且CE＝ 4 AC，所以有

5

三角形CDE的面积 = 4

三角形ACD的面积 5

把上面两式相乘，得

三角形ACD的面积 × 三角形CDE的面积 = 1 4

三角形ABC的面积

三角形ACD的面积

4 × 5 ，

化简得 三角形CDE的面积三角形ABC的面积

= 1 ，即5

三角形CDE的面积 = 1 ×三角形ABC的面积。

5

在图 2－12 中，再连结 BE，从图中可以看出，三角形 ABC、ABE 的

高相等，而且AE＝ 1 AC，所以有 三角形ABE的面积 = 1 。

5 三角形ABC的面积 5

另外三角形ABE与三角形AEF的高相等，而BF＝ 1 AB，所以有

6

三角形AEF的面积 5

三角形ABE的面积 ＝ 6 ，

把上面两式相乘，得

三角形ABE的面积 × 三角形AEF 的面积 1 5

三角形ABC的面积 三角形ABE的面积 ＝ 5 × 6

化简得： 三角形AEF的面积

三角形ABC的面积

= 1 ，即

6

三角形AEF的面积 = 1 ×三角形ABC的面积。

6

在图 2－12 中，再连结 CF，利用上面同样的方法可得

三角形BDF 1

ABC的面积。

的面积＝ 8 ×三角形

设三角形 ABC 的面积为“1”个面积单位，则有

1 − 1 − 1 − 1

三角形DEF的面积

三角形ABC的面积

答：（略）。

= 5 8 6 =

1

61

120