交集

已知 6 的约数的集合为A＝｛1，2，3，6｝， 15 的约数的集合为B＝｛l，3，5，15｝。

那么 6 与 15 的公共约数的集合为

｛1，3｝。

容易看出，集合｛1，3｝是由所有属于 A 且属于 B 的元素（即 A、B 的公共元素）所组成的。

一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A、B 的交集，记作 A∩B。符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交 B”。即

A∩B＝｛x│x∈A 且 x∈B｝。

这样，6 与 15 的公共约数的集合，可以从求 6 的约数的集合与 15 的约数的集合的交集而得到，即

A∩B＝｛1，2，3，6｝∩｛1，3，5，15｝＝｛1，3｝。图 11－3 中的阴影部分，表示集合 A、B 的交集 A∩B。

由交集的定义容易推出，对于集合 A、B，有A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A

例 4 已知 A＝｛x│x≥3｝，B＝｛x│x＜6｝，C＝｛x│x＞8｝。求 A

∩B，B∪C，B∩C。

解：A∩B＝｛x│x≥3｝∩｛x│x＜6｝

＝｛x│3≤x 且 x＜6｝

＝｛x│3≤x＜6｝ B∪C＝｛x│x＜6｝∪｛x│x＞8｝

＝｛x│x＜6 或 x＞8｝ B∩C＝｛x│x＜6｝∩｛x│x＞8｝

＝｛x│x＜6 且＞8｝

＝∅

说明：符号“＜”、“＞”分别读成“小于”和“大于”，例如，x＜6 表示 x 是小于 6 的（实）数,X≥3 表示 X 是大于或等于 3 的（实）数。

例 4 解中的数集也可以表示在数轴上，参看图 11－4，图（a）中打有斜线的区域表示集合 A∩B，图（b）中打有斜线的部分表示 B∪C。

例 5 在某校全体学生的集合中，已知 A＝｛六年级学生｝，B＝｛五年级学生｝，C＝｛女学生｝，D＝｛男学生｝，E＝｛参加数学小组活动的学生｝， F＝｛游览长城的学生｝。将下列各句子用集的符号表示出来。

（l）六年级全体女生都参加了数学活动。

1. 五、六年全体学生也仅是这些学生游览了长城。

2. 五年级的男生都没有参加数学小组活动。

解：（1）A∩C⊆E，（2）A∪B＝F，

（3）A∩D∩E＝∅。