第一讲 质数与合数（一）

质数与合数概念是数学运算、算式化简以及分析一些数字问题时常用到的。

如果一个比 1 大的自然数只有两个约数：1 和本身，那么这个自然数就叫质数。质数也叫素数。例如：43＝1×4343 只有 1 和 43 两个约数，所以 43 是质数。100 以内的质数是极为常用的，它们是

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，

61，67，71，73，79，83，89，97

在自然数中，如果除了 1 和本身两个约数，还有其它的约数，这个自然数就叫合数。例如：6 的约数有 1、2、3、6，那么 6 是合数。合数也叫复合数或合成数。应特别注意 1 既不是素数也不是合数。

例 1 求出 924 的质数约数的和。

解：我们要充分利用数字的整除特征，运用短除的形式，把 924 作质约数分解。

924＝11×2×2×3×7

质约数有：11、2、3、7，其和为 11＋2＋3＋7＝23。

例 2 求出 852 的约数。

分析：我们首先可把 852 的质数约数求出来进而求出全部约数。注意： 1，852 也是约数。

解：852＝2×2×3×71

约数有 1，2，3，4，6，12，71，142，213，284，426，852 共 12 个约数。

一般地：对一个自然数作质约数分解（也称质因数分解）

A = aⁿ1 ×aⁿ2 aⁿm （其中a ，a

，a 是不同的质数，n ，n ， ，

1 1 m

1 2 m 1 2

nm 都是正整数）

A 的约数个数有（n1＋1）×（n2＋1）×⋯⋯×（nm＋1）个。

例 3 有两个两位数的积是 3927，这两个数的和是几？

解：首先将这个积做质因数分解3927＝3×7×11×17

把这四个质因数适当搭配可以得到这两个两位数是 3×17＝51，7×11＝ 77。

所以两数的和是 51＋77＝128。

1

例4 比 2 大比5小，并且分母是13的最简分数有多少个？

分析：我们可以把分母是 13 的分数按照规定的范围先列出来，再将其

中分子是 13 的倍数的那些分数去掉。

解： 1 =

2

6 ＜ 7

12 13

5 = 65

13

7 ≤x＜ 65

13 13

分子应在 7 至 64 这 58 个自然数中选择，因为 13 是质数，去掉 13，26，

39，52，用余下的 54 个自然数做分子，可以得到 54 个满足条件的最简分数。

例 5 有八个数 693，35，48，28，175，108，363，165 把它们分为两组，使两组数的积相等。

分析：要使两组数的乘积相等，那么两组中相同质因数的个数一定相等。首先，将它们分解质因数。

693＝3²×7×11 175＝5²×7

28＝2²×7 35＝5×7

108＝2²×3³ 363＝11²×3

165＝3×5×11 48＝3×2⁴

为了观察得清楚，我们将他们放在一个表格中：

这 8 个数的分组情况

一组是：693，35，165，48

另一组是：175，28，108，363

例 6 要使四个数的积

135×1925×486×（ ）结果的最后五位都是零，括号中的数最小填入几？

分析：要使乘积结果的最后五位是零，就应当使这四个数中保证有五对 2 和 5 的因子。

解：首先将前面三个数字分解质因数： 135＝3³×5

1925＝5×5×7×11

486＝2×3⁵

它们当中共有三个 5，一个 2。应再补上两个 5，四个 2，括号中的数最少应当取 5×5×2×2×2×2＝400。

例 7 合数 3570，有很多的约数，其中最小的三位约数是多少？

分析：如果我们一味地把 3570 的质因子凑成满足条件的三位数，也是

可以的。还可将三位数由小到大逐个分解质因数，看其因子是否都是 3570 的因子即可。

3570＝2×3×5×7×17

三位数从小到大：100，101，102，103⋯⋯

100＝5²×2² 显然 100 中因子里 5 和 2 各多一个，100 不是 3570 约数，

101 是质数，也不是 3570 的约数，102＝2×3×17 2，3，17 都是 3570

的质因子，所以 102 是 3570 最小的三位约数。

例 8 九个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有几个？

分析：我们用不同的条件做筛子，逐步加强条件的限制，使其结果明显 化。

由于大于 2 的质数一定是奇数，而大于 80 的九个连续自然数至多只有 5

个奇数，所以质数的个数不大于 5 个。

我们知道：在三个连续的奇数中至少有一个数是 3 的倍数。所以这五个连续奇数中至少有一个是合数。因此，质数至多只有四个。

如：101－109 中，质数有 101，103，107，109

例 9 把 33 拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？

分析：首先假设可以分成五个质数之和（分成 6 个以上质数之和不可能）：33 是奇数，因此五个质数中不能有 2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数 3，5，7，11，13 的和是 39 超过 33。所以分成五个是不可能的。

假设 33 可以分成四个质数之和，33 是奇数，因此四个数中一定有一个是偶质数 2，即其余三个的和是 31，显然可以找出其余三个分别是：3，5， 23 3，11，17 7，11，13 5，7，19 三数乘积最大的是 7×11×13＝

1001 假设 33 可分成三个质数和，只可能是

3，13，17；

3，11，19；

3，7，23；

5，11，17；

乘积均小于 2×7×11×13，33 若分为两个质数之和，只可能是 2 和 31， 乘积仅为 62。故应将 33 写成四个质数：2，7，11，13 的和。

例 10 A，B，C 是三个自然数，已知：[A，B]＝42，[B，C]＝66，（A， C）＝3，求所有满足上述条件的 A，B，C。

说明：[A，B]表示 A，B 的最小公倍数，（A，B）表示 A，B 两数的最大公约数。

解：由[A，B]＝42＝2×3×7 可知 A，B 中只含有 2，3，7 的质因子。由[B，C]＝66＝2×3×11 可知 B，C 中只含有 2，3，11 的质因子。因此，B 的因子只可能取 2，3。

又因为（A，C）＝3，A，C 都含有 3 的因子，且 A，C 不同时含有 2 的因子，这样 B 中一定含有 2 的因子。

下面我们排一个表格，将 A，B，C 的数值写进去。

可以看出，满足条件的 A，B，C 有六组。

由于一个整数的质因数分解是唯一的，这往往就成为我们进一步分析问题的一个理想的出发点。