第三讲 钉板趣题一、钉板与皮筋

所谓钉板，就是把钉按一定的要求钉在木板上，这样带有钉的木板叫钉板。钉板与皮筋所讨论的问题是：以钉板上的某些钉为顶点，然后用皮筋将这些顶点依次连起来（以后简称去套这些钉），就可以得出一些不同的多边形来，再计算某种多边形的个数，下面举几个例题来说明一下做这类问题的思路和注意事项。

例 1 用 20 枚铁钉按图 3－1 所示，钉成相邻的横、竖两排距离都相等的 4×5 矩形钉阵，现在给你许许多多的皮筋，以这些钉为顶点，你能套出多少个正方形来。

分析与解 此题与第一分册中讲到的数正方形个数的问题有些相似。为方便起见，我们假定相邻两行、两列钉之间的距离为“1”，用皮筋去套这些钉，首先可以得到图 3－2 那样的图形。在图 3－2 中，边长为“1”的正方形有（4×3）12 个，边长为“2”的正方形有（3×2）6 个，边长为“3”的正方形有 2 个。除了上面那些正方形外，还有其它的正方形。如果把图 3－1 中某些小正方形相对顶点上的钉用皮筋连起来，便可得图 3－3。在图 3－3 中，因为 AB、BC、CD、DA 都是边长为“1”的正方形的对角线，所以 AB＝BC

＝CD＝DA。另外角 A、B、C、D 都正好是两个 45°角的和，故它们都等于 90

°，这一来四边形 ABCD 是个正方形。图 3－3 中和 ABCD 一样的正方形有（3

×2）＝6 个。

另外，如果把某些两个相邻的正方形拼成的长方形相对顶点上的顶点也用皮筋连接起来便得图 3－4。在图 3－4 中，因为 AB、BC、CD、DA 都是相同长方形的对角线，所以 AB＝BC＝CD＝DA。通过图形的拼补可以算出角 A、B、C、D 都等于 90°，因此四边形 ABCD 也是正方形，图 2－4 中和 ABCD 一样的正方形有（2×2）4 个

通过仔细观察，边长比图 3－4 中 AB 线段还长，位置又不太正规的正方形不存在。故共可套出正方形：

4×3＋3×2＋2＋3×2＋2×2＝30（个）

通过例 1 可以发现，解这类所谓“钉板与皮筋”问题时，分类计算这种想法是很重要的。值得注意的是，在数图 3－3 中正方形个数时，千万不要把ABCD 内的 2 个正方形那样的小正方形也算进去，因为它们某些顶点上没有钉。

例 2 把 12 个钉钉成图 3－5 所示的那样一个矩形钉阵，相邻两钉间的距离都是 1 厘米。以这些钉为顶点，用皮筋去套，可以得到许许多多的三角

形，问这些三角形中，面积为 3 平方厘米的三角形有几个？

分析与解 三角形的面积等于它的底乘以高再除以 2。而图 3－5 中的AK＝EG＝2 厘米。如果以 2 厘米做三角形的高，当它的面积为 3 平方厘米时， 其底边长应为 3 厘米。把底边选在 A、B 所在的直线上，这时线段 AD 和 BE 的长都是 3 厘米，以 AD 为底，K、J、I、H、G 为顶点，可得五个面积为 3 平方厘米的三角形。同样以 BE 为底，K、J、I、H、G 为顶点，又可得到五个面积为 3 平方厘米的三角形。反过来，因为 KH＝JG＝3 厘米，所以，分别以 KH、JG 为底，A、B、C、D、E 为顶点，又可得出 10 个面积为 3 平方厘米的三角形。

图 3－6 所示的三角形 DHL 和 BFJ，它们的底都是 2 厘米，高都是 3 厘米， 故面积也是 3 平方厘米。

除了上面那两类三角形之外，还有满足要求的第三类三角形。我们知道： 图 3－5 中矩形 AEGK 的面积为 8 平方厘米，如按图 3－7 所示那样，将矩形AEGK 分成四个三角形，从图 3－7 中很容易算出直角三角形 ACK、CEF、FGK 的面积分别为 2 平方厘米、1 平方厘米、2 平方厘米，而 8－2－1－2＝3，所以三角形 CFK 的面积为 3 平方厘米。图 3－7 中与三角形 CFK 类似的三角形还有 3 个，它们分别是 CLG、AIF、ELI。故面积为 3 平方厘米的三角形有：

5×2×2＋2＋4＝26（个）

例 3 图 3－8 中的正方形被分成 9 个相同的小正方形。它们一共有 16 个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在同一条直线上的三个点为顶点， 可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形面积相等的有多少个？

分析与解 为方便起见，给图 3－8 的顶点标上字母，得图 3－9 并假定每个小正方形的边长为“1”，这样一来，图 3－8 中阴影三角形的面积为“3”。图中面积为“3”的三角形，可分为两大类：一类底长为“2”，高是“3”；

另一类底长为“3”，高为“2”。

先看底为“2”、高为“3”的三角形有多少个。如果把底边选在 AD 上， 而在 AD 上有 AC、BD 两条线段的长为“2”。点 J、I、H、G 到线段 AD 的距离为“3”。所以这时与阴影三角形面积相等的三角形有（4×2）8 个。同样底边还可以选在 DG、GJ、JA 三边上，同底边选在 AD 上一样，每边上都有 8 个三角形与阴影三角形的面积相等。

再看底边长为“3”，高为“2”的三角形有多少个。因为 AD、DG、GJ、JA、LE、KF、BI、CH 的长都是“3”，所以它们都可以被选定作三角形的底边。当以 AD 为底时，K、P、O、F 四点到线段 AD 的距离都为“2”，为了不与第一类中已有的三角形重复，此时只有两个三角形 ADP、ADO 与阴影三角形面积相等。同样，以 DG、GJ、JA 为底时，也都各有两个三角形与阴影三角形面积相等，当以 LE 为底时，J、I、H、G 四点到 LE 的距离都为“2”，为了不与第一类中已有的三角形重复，此时也只有两个三角形 LEH、LEI 与阴影三角形面积相等。同样以 KF、BI、CH 为底时，也都各有两个三角形与阴影三角形面积相等。

因为第一类中有（2×4×4）32 个三角形与阴影三角形面积相等，第二类中有（2×8）16 个三角形与阴影三角形面积相等，所以图 3－8 中有（32

＋16）48 个三角形（包括阴影三角形）的面积与阴影三角形面积相等。