第十四讲 抽屉原则（一） 一、什么是抽屉原则

我们先看下面一副妙趣横生的漫画。这幅画出于一位数学家之手，它曾刊登在一种著名数学杂志的封面上，画里表示三只鸽子要进两个鸽巢。想一想，可能会产生什么样的结果呢？要么两只鸽子进了一个巢，而另外一只鸽子进了另一个巢；要么三只鸽子都进了一个巢。这两种情况可用一句话表示： 一定有一个巢里有两只或两只以上的鸽子。虽然哪个巢里至少有两只鸽子我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一个巢，其中进来了两只或两只以上的鸽子。

如果我们把上面问题中的数字作一下改变，例如不是三只鸽子进两个巢，而是十只鸽子进九个巢，那么结果怎样呢？我们不难理解，这十只鸽子不管以怎样的方式进巢（假定每一个巢都相当大，可以容纳全部鸽子），仍然是一定有一个巢里至少有两只鸽子。

上面推理的正确性是显而易见的，就连小学生也是完全能够接受的。怎样把这一问题推广到更一般的形式，从而得出某种基本原理来呢？我们先看以下两点：

1. 如果将鸽子换成苹果、糖果、书本或数，同时将鸽巢相应地换成抽屉、小孩、学生或数的集合，仍然可以得到相同的结论。

这就是说，上面推理的正确性与具体事物没有关系。如果我们把一切可以与鸽子互换的事物叫作元素，而把一切与鸽巢互换的事物叫作集合，那么上述结论就可以这样叙述：十个元素以任意的方式分到九个集合之中，一定有一个集合中至少有两个元素。

1. 鸽子与鸽巢的数目也是无关紧要的，只要鸽子数比鸽巢数多，推理照样成立。

通过这两点分析，我们可以把上面问题中所包含的基本原理写成下面的一般形式：

原则 1 如果把多于 n 个的元素按任一确定的方式分成 n 个集合，那么一定有一个集合中至少含有两个元素。

也许是由于上面那幅漫画的缘故，有人把这一原则称作鸽巢原则。又有人把鸽子进入鸽巢比作苹果放进抽屉里，所以通常也称作抽屉原则。以下我们采用抽屉原则这一称呼。初看起来，有人会觉得这一原则太简单了，简直平淡无奇。然而正是这样一些平凡朴素的原则，在初等数学乃至高等数学中， 有着许多应用。巧妙灵活地运用这些原则，可以很顺利地解决一些看上去相

当复杂，甚至觉得简直无法下手的数学问题。1

下面我们先看看，如何运用这一原则解决日常生活中的一些有趣的问题。

例 1 某校一年级招收了四百名新生，而年龄最大的与最小的相差不到一周岁。那么这些新生中一定有两个人是同年、同月、同日出生的。你知道为什么吗？

分析：也许有同学会说，新生入学登记的卡片上有每个同学的出生年、月、日，只要把全部新生的卡片查一下就知道了。如果我们规定不能查这些卡片，那么该怎么办呢？其实完全没有必要看这些登记表，只要把一年中的每一天看作一个抽屉，而把每一个新生的生日看作“苹果”，运用抽屉原则就可以解决。

证明：把一年中的三百六十五天（闰年三百六十六天）中的每一天看作一个抽屉，把四百名新生的每一个人的生日看成一个“苹果”，由于“苹果” 数目多于“抽屉”数目，根据抽屉原则，一定有一个抽屉里至少有两个“苹果”。也就是说，至少有两个同学的生日相同。再根据同学们的年龄相差不到一周岁，所以这两个同学一定是同年、同月、同日出生的。

说明：从上面的例子可以看出运用抽屉原则解题，一定要恰当地选好“抽屉”和“苹果”。

例 2 某小学有一千多名学生，从学生中任意挑选 13 人，证明在这 13

名学生中至少有两个人属相相同。证明：属相一共有 12 种，设 12 种属相为

12 个“抽屉”，而把 13 名学生当作 13 个“苹果”。当“苹果”放入“抽屉” 后，根据抽屉原则，有一个“抽屉”里至少放了两个“苹果”，也就是说至少有两个人的属相相同。

例 3 六年级（1）班有 40 名学生，班里有个小书架，同学们可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书？

解：把 40 名学生当作 40 个“抽屉”，而把书当作“苹果”，根据抽屉原则，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个“抽屉”里有两个或两个以上的“苹果”。因此，小书架上至少要有 41 本图书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的图书。

说明：例 3 是运用抽屉原则来求“苹果”或元素的个数的。

以上三个例题中有关“抽屉”和“苹果”的选择比较简单。但在很多情况下，“抽屉”和“苹果”并非如此明显，一下子就能选好，而是要认真地分析思考才能找到“抽屉”和“苹果”。有时“抽屉”和“苹果”的数目也不是现成的，需要通过分析，才能计算得到。

例 4 黑色、白色、黄色的筷子各有 8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子（每双筷子两根的颜色应一样）。问至少要取多少根才能保证达到要求？（首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）

解：例 4 不能像前 3 个例题那样一下子就找到了“抽屉”和“苹果”， 从而直接运用抽屉原则来解决问题。解这个问题时需作认真的思考和分析。

¹ ① 据说 19 世纪著名的德国数学家狄里克雷最早明确地运用这一原则明了数论中的一些命题。后来，人们为了纪念他，把抽屉原则也称作狄里克雷重叠原则。

由于各种颜色的筷子混杂在一起，我们又是在黑暗中取筷子，取时无法分辨出筷子的颜色。这样，如果取出的筷子数目不多于 8 根的话，有可能取出的筷子都是同一种颜色，这是最不利的情况。因此，要保证取出颜色不同的两双筷子，取出的筷子数必须超过 8 根。为了保证达到要求，我们从最不利的

情况出发，取出的筷子中有 8 根都是同一种颜色的，这样问题就变成了怎样才能使其余的筷子中保证有两根颜色是同颜色的。这时，剩下的颜色只有两种，把两种颜色当作两个“抽屉”，而把筷子当作“苹果”，根据抽屉原则， 只要再有 3 根筷子，就能保证其中有两根的颜色是相同的。总之，在最不利的情况下，只要取出 8＋3＝11 根筷子，就能保证其中一定有不同颜色的两双筷子，在其它情况下就更能达到要求了。

答：至少要取出 11 根筷子才能保证达到要求。

例 5 从起点起，每隔 1 米种一棵树。如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位）。这是为什么？

证明：为了表示两棵树之间的距离，给每棵树编号（如图 14－2）。这样两棵树的距离数就是这两棵树号码的差。树的号码数分成偶数、奇数两种， 把这两种数当作两个“抽屉”，把挂牌的树的三个号码数放进两个“抽屉” 里。那么至少有两个在同一个“抽屉”里，即同时偶数或者是奇数。两个偶数或奇数，它们差一定是偶数。所以挂牌的 3 棵树中，至少有两棵，它们之间的距离是偶数。

例 6 能否在 8 行 8 列的方格表（如图 14－3）的每一个空格中分别填上 1、2、3 这三个数字中的任意一个，使得每行、每列及对角线 AC、BD 上的各个数字的和互不相同？并对你的结论加以说明。（北京市 1988 年小学迎春杯数学竞赛决赛试题）

解：这个问题初看起来似乎与“抽屉”原则关系不密切。下面我们先看图，图中 8 行 8 列及两条对角线共 18 条“线”。每条“线”上都填有 8 个数字，要使各条“线”上的数字和都不相同，那么每条“线”上数字和取不同值的可能性必须不少于 18 种。下面我们来看各条“线”上取不同和的可能情况有多少种。如果一条“线”上的 8 个数字都填 1，那么数字和为最小值 8；

如果一条“线”上的 8 个数字都填 3，那么数字和为最大值 24。由于数字和都是整数，所以从 8 到 24 共有 17 种不同的值。我们把数字和的 17 种不同的值当作 17 个“抽屉”，而把 18 条“线”当作 18 个“苹果”。根据抽屉原则， 把 18 条“线”分到 17 个“抽屉”里，一定有一个“抽屉”里有两条或两条

以上的“线”，即 18 条“线”上的数字和至少有两个是相同的。因此，不可

能使 18 条“线”上各数字和互不相同。