第九讲 细观察、找规律

在第一册第九讲中曾经介绍了“数列”的概念和表示符号。数列就是按照一定规律排列的一列数。

最简单的问题是由数列的排列规律写出这个数列或这个数列的某些项。

例 1 按下列规律，写出数列的前 5 项

1. 质数从小到大排列成的数列；

2. 自然数中的平方数，从小到大排列成的数列；

（3）an＝3n＋1；

（4）an＝2ⁿ－1；

（5）a1＝1，an＋1＝3an＋1。

解：（1）2，3，5，7，11；

（2）1，4，9，16，25；

（3）a1＝3×1＋l＝4，a2＝3×2＋1＝7， a3＝3×3＋1＝10，a4＝3×4＋1＝13， a5＝3×5＋1＝16；

（4）a1＝2¹－1＝1，a2＝2²－1＝3， a3＝2³－1＝7，a4＝2⁴－1＝15， a5＝2⁵－1＝31；

（5）a1＝1，a2＝3×1＋1＝4，

a3＝3×4＋1＝13， a4＝3×13＋1＝40， a5＝3×40＋1＝121。

和例 1 相反，如果给出数列的一些项，要求探究它的构造规律，就需要细致观察，并进行分析。

例 2 找出下列各数列的构造规律，并填空。

（1）1，3，6，10，15，－－，28；

（2）1，8，27，64，－－，216；

（3）1，3，7，15，－－，63；

（4）1，2，3，5，8，－－，－－，34；

（5）2，3，5，7，－－，13。

分析与解：（1）从给出的六个数本身看，看不出什么共同属性。如果分析彼此之间的关系，发现：

a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5。是有规律的，“相邻两项的差成等差数列”。照此规律，a6＝a5＋6＝15＋6＝21。

已知 a7＝28，a7－a6＝7 同样是适合的。

1. 从互相之间的差看不出什么规律。但从各自属性分析发现： a1＝1³＝1，a2＝2³＝8，a3＝3³＝27，a4＝4³＝64,

可以猜测 a5＝5³＝125。规律是：“各项等于它的项数的立方”。由 a6＝216＝6³ 也是符合这个规律的。

1. 从 相 邻 两 项 之 差 看 ： a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝7－3＝4，a4－a3＝15－7＝8， “ 相 邻 两 项 差 构 成 等 比 数 列 ” a5－a4＝16，a5＝a4＋16＝31。

已知 a6＝63，a6－a5＝63－31＝32。也符合以上规律。换一个角度，还发现如下规律：

a1＝1＝2¹－1，a2＝3＝2²－1，a3＝7＝2³＝1，a4＝15＝2⁴－1，照此规律， a5＝2⁵－1＝31，a6＝2⁶－1＝63。

你 也 许 还 发 现 如 下 规 律 ： a2＝2al＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，

a4＝2a3＋1＝15，照此规律 a5＝2a4＋1＝31， a6＝63＝2a5＋1。

1. 对这个数列构造规律，需要从更广的角度观察，从相邻三项的关系，发现如下规律：

a3＝a1＋a2，a4＝a2＋a3，a5＝a3＋a4，照此规律。a6＝a4＋a5＝5＋8＝13，a7＝a5＋a6＝8＋13＝21。a8＝34＝a6＋a7 也符合规律。

1. 从各项本身性质，不难发现它们是依次排列的质数（从小到大）。a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝7。照此，a5＝11。

说明：观察、分析数列构造规律，就要从各项的性质，相邻项（两项或三项）之间的关系进行归纳。开始可能是一种猜测，在猜测基础上再进行检验。对于一个无限数列如果给的项数是有限的，规律不是唯一的。如数列 2， 3，5，⋯⋯。

①如果看作是质数从小到大排列，那么 a4＝7，a5＝11；

②如果看作是 a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，那么 a4＝8，a5＝12；

③如果看作是 a1＝2，a2＝3，a3＝a1＝a2，那么 a4＝8，a5＝13。

例 3 把自然数按以下规律分组：

（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），⋯⋯；

其中第一组 1 个数，第二组有 3 个数，第三组有 5 个数，第四组有 7 个数，⋯⋯．求

（1）第 11 组所有数之和；

（2）1993 排在第几组的第几个数？

解：不难发现每组的数的个数等于它的组序号的 2 倍减 1。就是说第 k 组有（2k－1）个数。

1. 先计算前 10 组所有数的个数。1＋3＋5＋⋯⋯＋（2×10－1）＝［1＋（2×10－1）］×10÷2＝100。第 11 组的第 1 个数是 101，共有（2×11－1）个数。最后一个数是 100

＋（2×11－1）＝121。

第 11 组 所 有 数 之 和 是 ： 101＋102＋⋯⋯＋121＝（101＋121）×21÷2＝2331。

1. 如果 1993 在第 k 组，那么 1993

   必须大于前（k－1）组中所有数的个数，并且不大于前 k 组中所有数的个数。

前 （k－1） 组 数 的 个 数 是 ： 1＋3＋5＋⋯⋯＋［2（k－1）－1］＝｛1＋［2（k－1）－1］｝×（k

－1）÷2＝（k－1）²。

同理前 k 组数的个数是 k²。

（k－1）²＜1993≤k²。

又因为 44²＝1936，45²＝2025，所以 1993 在第 45 组。

前 44 组有 1936 个数，就是说第 44 组最后一个数是 1936。1993－1936＝57。

答：第 11 组所有数之和是 2331，1993 排在第 45 组的第 57 个数。

说明：通过观察或计算，我们还发现，每一组的最后一个数正好等于它 所在组数的平方。利用这个规律解决问题就更简单了。如求第 15 组的各数之和：

第 15 组的第 1 个数是 14²＋1＝197，第 15 组最后一个数是 15²＝225。

这组共有 29 个数，它们的和是197＋198＋⋯⋯＋225＝（197＋225）×29÷2＝6119．练习

自然数按例 3 规律分组。求

（1）987 排在第几组？

1. 第 11 组和第 12 组两组中所有数的和是多少？

2. 第 80 组中的正中间是哪个数？

例 4 观察下列各数排列规律：

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。

2 3 3 4 4 4 5 5 5 5

求：（1） 11 排在第几个位置？（2）第100个位置上是哪个数？

27

解：（1）通过观察发现，在这个数列中依次排列着：分母是 2 的有 1

个数，分母是 3 的有 2 个数，分母是 4 的有 3 个数，⋯⋯。如果按分母不同分组：

第1组有1个数，第2组有2个数，第3组有3个数， ， 11 排在第26组

27

第11个数。

（1＋2＋3＋⋯＋25）＋11＝（1＋25）×25÷2＋11＝336

（2）先考虑第 100 个位置排在第几组的第几个数。前 k 组所有数的个数是：

S = 1 + 2 + 3 + + k = （1 + k）k 。

k 2

估值：k＝13 时，S13＝91；k＝14，S14＝105 第 100 个数一定排在第 14 组。

100－91＝9。

第 100 个位置的数排在第 14 组的第 9 个数。这组的数的分母是 15，这

组第9个数的分子是9。所以是 9 。

15

答： 11 排在第336个位置，第100个位置是 9 。

27

在例4的数列中，（1）求 7

39

是哪个数？

例 5 有一个数列：

15

排在第几个位置？（2）第1993个位置上

1，2，3，5，8，13，⋯⋯。（从第 3 个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的和）

1. 求第 1993 个数被 6 除余几？

2. 把以上各数依次按下面方法分组

（1），（2，3），（5，8，13），⋯⋯。（第 n 组含有 n 个数）。问第 1993 组的各数之和被 6 除余几？

分析：如果能知道第 1993 个数是哪个数，第 1993 组有哪些数，问题很容易解决。可是要做到这一点不容易。由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被 6 除，余数构成的数列，问题也可以得到解决。

解：根据“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被 a 除的余数，等于各个加数被 a 除的余数的和再被 a 除的余数”。得到数列各项被 6 除，余数组成的数列是：

1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，

1，0，1，1，2，3，5，⋯⋯。

观察规律，发现到第 25 项以后又重复出现前 24 项。呈现周期性变化规

律。一个周期内排有 24 个数。（余数数列的前 24 项）

（1）1993÷24＝83⋯⋯1。

第 1993 个数是第 84 个周期的第 1 个数。因此被 6 除是余 1。

（2）因为分组规律是第 n 组含有 n 个数。前 1992 组共有 S1992 个数，

S1992

= 1 + 2 + 3 + + 1992 = 1993×1992 = 1985028 。

2

1985028 除以 24 余 12，第 1992 组最后一个数除以 6，余数是 5，第 1993

组 各 数 被 6 除 余 数 是 ： 5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，

5，0，5；⋯⋯（以后各数周期性变化）。

一个周期内 24 个数之和为 66，它被 6 整除。

1993 除以 24 余数为 1，因此，第 1993 组各数之和被 6 除应该余 5。（第

1993 组的第一个数被 6 除所得余数）