子集

我们知道，任何一个正偶数都是自然数。就是说，正偶数集 E 的任何一个元素都是自然数集 N 的一个元素。

对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素， 那么集合 A 叫做集合 B 的子集。记作

A ⊆ B（或B ⊇ A）。

读作“A 包含于 B”（或 B 包含 A）。例如，上述的

E ⊆ N。

如果 A 中至少有一个元素不属于 B，那么 A 不是 B 的子集，可记作

读作“A 不包含于 B”（或“B 不包含 A”）。

例 3 设 A＝｛1，3，4，5，8，9｝，B＝｛1，2，3，5，6｝，C＝｛1， 5｝。指出集合 A、B、C 之间的关系。

解：因为集合C的元素1和5都是集合A的元素，所以C ⊆ A。同理C ⊆ B。

注意：包含“⊆”和属于“∈”不同，前者用来表示集合与集合间的关系，后者用来表示元素与集合间的关系。

对于任何一个集合 A，因为它的任何一个元素都属于集合 A 本身，所以

A⊆A

也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

为了方便起见，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，例如。

｛x│x＋1＝x＋2｝＝∅。

｛小于零的自然数｝＝∅。

｛两边之和小于第三边的三角形｝＝∅。

我们规定空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何集合 A，有

∅⊆A

注意：不要把数 0 或集合｛0｝与空集∅混淆。数 0 不是集合，｛0｝是含有一个元素的集合，而∅是不含任何元素的集合。在书写时，不要把空集错误地写成｛空集｝或｛∅｝，后者不是空集，是一个单元素的集合，它的元素是∅。

如果 A 是 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作

A⊂B（或 B⊃A），

读作“A 真包含于 B”（或“B 真包含 A”）。

例如，偶数集 E 是自然数集 N 的子集，也是它的真子集，所以 E⊂N。集合 B 同它的真子集 A 之间的关系，可用图 11－1 中 B 同 A 的关系来说

明。其中 A、B 两个圈的内部分别表示集合 A、B。这种表示集合的图形通常称作文氏图。

显然，空集是任何非空集合的真子集。

对于两个集合 A 与 B，如果 A⊆B，同时 B⊆A，我们就说这两个集合相等。记作

A＝B

读作“A 等于 B”。两个集合相等，实际上就是这两个集合的元素完全相同。