第十讲 最大公约数与最小公倍数

如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。

如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是这几个数的公倍数。几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。

求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法。1．短除法：

例 1 求 8，12，18 的最大公约数和最小公倍数。

解：求最大公约数和最小公倍数的最常用的办法就是短除法。具体作法 如下：

8、12、18 的最大公约数为 2。

8、12、18 的最小公倍数为 2×2×3×2×3＝72

我们习惯上用（8，12，18）表示，8，12，18 的最大公约数，即：

（8，12，18）＝2 用［8，12，18］表示 8，12，18 的最小公倍数，即

［8，12，18］＝72

短除法的长处在于它可同时求出最大公约数和最小公倍数。在求三个以上数的最大公约数和最小公倍数时，尤其简便。

1. 分解质因数法：

分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。但往往被忽视。

例2 将

6933

25421

化成最简分数。

解：化简分数实际上就是求分子分母的最大公约数。如果用短除法，就 会发现很难找出其公有的质因数。但很容易看出 6933 是 3 的倍数，25421 是

11 的倍数。

实际上，只要将分子分母分解质因数，就很容易看到结果。6933＝3×2311

25421＝11×2311

所以 6933 = 3

25421 11

无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。

1. 辗转相除法：

例 3 从一张长 2002 毫米、宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是 毫米。

解：剪的过程如图所示

第一、二次剪下 847×847 平方毫米的正方形。

第三、四次剪下边长 308 毫米的正方形。

第五次剪下边长 231 毫米的正方形。

第六、七，八次剪下边长 77 毫米的正方形。

以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法。以上过程可用算式表示如下：

2002＝847×2＋308

847＝308×2＋231

308＝231×1＋77

231＝77×3

由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零。最后一个除数就是两数的最大公约数。这是因为；两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数。拿这道题来说，2002 和 847 的公约数，也就是 847 与 308 的公

约数，也就是 308 与 231 的公约数，也就是 231 与 77 的公约数。由于 231

是 77 的倍数，所以它们的最大公约数就是 77，即 2002 与 847 的最大公约数。辗转相除法的竖式格式如下：

最大公约数与最小公倍数的一个重要性质是：两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积。

例 4 求 36953 与 59570 的最大公约数。

解法 1：用辗转相除法

（36963，59570）＝37

解法 2：上面的方法计算量很大。能否简化运算呢？

通过观察容易发现，36963 有约数 3×3。而 59570 没有质因数 3。59570 有质因数 2 和 5，36963 没有质因数 2 和 5。所以可以从 36963 中分解出 3×3，从 59570 中分解出 2×5，再求其余部分的最大公约数。

36963＝3×3×4107

59570＝2×5×5957

（36963、59570）＝37

由此可见，求最大公约数的几种方法并非是截然分开的。还可把他们结合起来使用。

例 5 下面两个算式中，得数较大的是哪一个？

（1）（ 1 +

24

1 ）×30

29

（2）（ 1 +

31

1 ）×40

37

分析：如要算出得数，计算量很大。比较一下两个式子。括号内都是两 个分子为 1 的分数相加。如果能使括号外部分相同。那么括号内部分就比较好比较了。

解：［30，40］＝120

1

（ 24 ＋

1 ）×30＝（ 1

29 24

1

＋ 29

）÷4×4×30

＝（ 1

96

＋ 1

116

）×120

1

（ 31 ＋

1 ）×40＝（ 1 ×

37 31

1 ）÷3×3×40

37

＝（ 1 ＋

93

1

111

）×120

由于 1 大于 1

93 96

， 1

111

大于 1

116

，所以（2）式得数较大。

最大公约数与最小公倍数的性质，在解题中会经常遇到。

例6 参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000 1

3

2 1

中心区占 7 ，朝阳区占 5 ，剩余的全是远郊区的学生。比赛结果，

光明区有

1 的学生得奖，中心区有 1

24 16

的学生得奖，朝阳区有 1

18

的学生得奖，那么参赛学生有 名。

解：光明区获奖人数占参赛学生总数的：

1 × 1 = 1

3 24 72

中心区获奖人数占参赛学生总数的：

2 × 1 = 1

7 16 56

朝阳区获奖人数占参赛学生总数的：

1 × 1 = 1

5 18 90

所以参赛学生总数，应是 72，56，90 的倍数。

［72，56，90］＝2520

所以参赛学生总数是 2520 的倍数。由已知参赛学生共有 2000 多人，可

知参赛人数就是 2520 人。

例7 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4 1 米，黄鼠狼每次跳

2

2 3 米，它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔12 3 米

4 8

设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时， 另一个跳了 米。

分析：当狐狸跳了若干次时，如恰好跳到距起点的距离为12 3 的倍数，

8

则它就会掉进陷井。要求出它何时掉进陷井，就要求出4 1 与12 3 的

2 8

“最小公倍数”。但两数都是分数，它们的“最小公倍数”是什么意思？ 如何求呢？

解：将4 1 与12 3 通分。

2 8

4 1 = 9 = 36

2 2 8

12 3 = 99

8 8

求两分数分子的最小公倍数。

［36，99］＝396

两分数的“最小公倍数”规定为化为同分母后，以分子的最小公倍数作为分子，相同分母作分母的分数。

那么，两数的最小公倍数为 396 ，即 99 。 99 ÷4 1 ＝11 。

8

所以狐狸跳 11 次掉进陷井。再来看看黄鼠狼。

2 2 2

2 3 = 22 12 3 = 99

4 8 8 8

［99，22］＝198

黄鼠狼跳 198 米时掉进陷井。这时它跳了

8

198 ÷ 22 ＝9（次）

8 8

所以黄鼠狼比狐狸先掉进陷井。它掉进陷井时，狐狸跳了

4 1 ×9＝40 1 （米）

2 2

例 8 一条公路由 A 经 B 到 C。已知 A、B 相距 280 米，B、C 相距 315 米。现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等。并在 B 点及 AB、BC 的中点上都要植一棵。那么两树间距离最多有多少米？

分析：由于AB和BC的中心要种一棵树，所以要将140米和157 1 米均

2

分成几段，使每段长度相等。这就要求140与157 1 的最大公约数。

2

解：将140与157 1 通分

2

140 = 280

157 1 = 315

2 2 2

∵ （280、315）＝35

所以两数的最大公约数为 35 （即17 1 ）。

2 2

故最多相隔17 1 米种一棵树。

2

由上面两个例题可以看出，最大公约数与最小公倍数的概念，如果必要也可以扩展到分数的范围。