分支理论和时空有序结构的形成

上述一系列自然体系的时空有序结构的特点表明形成这种结构的自组织过程主要涉及到化学反应和扩散作用，前面的分析仅表明非线性非平衡的定态有可能失稳。因此下面将运用动力学方法对非线性的反应—扩散方程的解进行稳定性分析。从而证明处于非平衡的非线性区的开放体系在一定的边界条件和初始条件下，能够出现宏观时空有序的稳定结构——耗散结构。

1. 反应—扩散方程的解的稳定性

考虑一个组份浓度不均匀的体系，则体系中的每一个空间位置（r）存在一个浓度梯度所驱动的扩散通量 Ji（r）。如果体系中同时发生若干种化学反应，反应速率为 Jj，则体系中每一个空间位置的各组份的浓度决定于化学反应和扩散过程的总效应。在扩散通量和反应速率中以摩尔分数浓度 Xi 表示组份 i 的浓度，根据质量守恒原理有：

∂Xi

= ∑v J

− ∇·J

（4.33）

∂t _j

ij j i

假定扩散过程满足常系数的斐克定律，并忽略各组份的扩散通量之间的耦合，则反应一扩散方程可写成：

∂Xi

∂t

= f ({X }, λ) + D ∇ ²X

（4.34）

式中函数 fi 描述组份 i 的浓度 Xi 由于化学反应产生和消耗的变化速率，函数的自变量不仅包括体系中各组份的浓度｛Xj｝，还包括体系的各种动力学条件，用控制参量λ来代表，即λ表征体系受外界控制的程度以及体系偏离平衡态的程度，D 为组份 i 的扩散系数。根据反应动力学的质量作用定律可知fi 一般具有多项式的形式，它是组份浓度 Xi 的非线性函数；在很多具体的物理一化学体系中扩散系数不是常数，不同组份的扩散通量之间也存在相互耦合。显然这些因素都将使得反应—扩散方程为非线性偏微分方程。表明体系和环境之间关系的边界条件为：

Dirichlet 条件——｛X1，X2 ，⋯Xn｝Σ=常数，即边界面上组份浓度恒定。

∑

Neumann条件——｛n·∇X1 ，n·∇X 2 ， n·∇X ｝ = 常数，即通过

边界面的通量保持恒定，n 为边界面的单位法向量。

从物理意义上看还要求方程（4.34）的解｛Xi｝必须是实的和非负的。

设｛X^o （r，t）｝是满足方程（4.34）的一个特殊的未扰动的解（对

应于体系的定态）。由于外界作用或体系内部涨落而达到扰动态 Xi（r，t）， 则：

Xi （r，t） = X^o （r，t） + x （r，t） （4.35）

其中 x（r，t）表示体系由于扰动而引起的对定态的偏离。将式（4.35）代入方程（4.34）得：

i + ⁱ = D ∇² X⁰ + D ∆² x + f ({X⁰ + x }, λ)

∂X⁰ ∂x

∂t ∂t

i i i i i j j

− f i {X⁰ }, λ + fi {X⁰ }, λ

j j

因为X⁰ 是方程的一个解，所以有：

∂Xi = D ∇² X + f ({X⁰ + x }, λ)− f

({X 0 }, λ)

∂t

一级近似下：

i i j j j i j

0 0  ∂f i 

fi ({X j + x j}, λ)− f i ({X j }, λ) = ∑ ∂x  x j

所以，对于定态的微弱扰动满足：

_j  _j 

∂xi

 ∂fi  2

∂t = ∑ ∂x

j 

x j + Di∇ xi

o

（4.36）

方程（4.36）称为方程（4.34）关于定态｛X ⁰ ｝的线性方程。因此讨论非线性偏微分方程（4.34）的定态解｛X ⁰ ｝的稳定性问题转化为讨论线性方程（

4.36）在边界条件：

或

｛x1，x2 ，

x n ｝^∑ = 0

｛n·∇x1，n·∇x2 ， n·∇xn ｝ ^∑ = 0

的零解的稳定性。而通过该线性方程得出的关于体系的稳定性结论适用于非线性方程（4.34）的解的稳定性的结论可以由下述原理保证。

线性稳定性原理：如果方程（4.36）的零解是渐近稳定的，则定态

｛X⁰ ｝也是方程（4.34）的渐近稳定解；如果方程（4.36）的零解是不稳定的，则定态｛X⁰ ｝也是方程（4.34）的不稳定解。

因此，当一个线性化方程组的零解是渐近稳定或不稳定的，则与该零解相对应的非线性方程的特解有相同的稳定性，即可以从线性方程组的零解的稳定性来确定非线性方程组的特解的稳定性。

线性方程组（4.36）中｛xi｝的系数仅与控制参量λ有关，因此可将式

（4.36）表为：

∂xi

∂t

= ∑ L

j

_ij (λ)x j

（4.37）

线性方程组（4.37）的解｛xi（r，t）｝的形式为：

ω m (λ)μ m

= L(λ)μ m

（4.38）

代入方程组（4.37）则可得本征方程：

ω m（λ）μ m ＝L（λ）μ m

（4.39）

L（λ）是矩阵元 Lij，所构成的线性算子，当λ不显含时间，则方程组

（4.37）的解可以用算子 L（λ）的本征解来表达。ωm 为本征值，μm 为本征方量，m 为波数，ωm 通常为复数。由式（4.38）可知：

1. 如果对所有的 m，ωm 的实部 Reωm（λ）小于零，则当 t→∞时，

xm →0，即方程组的解渐近稳定，根据线性稳定性原理，此时定态｛X⁰ ｝

是渐近稳定的；

1. 如果对某些 m，Reωm（λ）大于零，则线性方程组的零解不稳

定，此时定态｛X⁰ ｝也是不稳定的；

1. 如果对某些 m，Reωm（λ）等于零，而其余的均小于零，则线

性方程组（4.36）的零解为临界稳定，此时定态｛X ⁰｝也是临界稳定。体系被称为是 Lyapounov 稳定的。反应扩散方程的结构发生变化，只要有极微小的扰动就可以导致｛X⁰ ｝的较大变化而失稳。

1. 分支现象

以上分析表明在 Reωm（λ）=0 的条件下非线性方程的解失稳，即当控制参量λ在某些临界值λC 的条件下方程的解出现分支现象（Bifurcation）。下面以简单的非线性方程的解来说明分支现象的存在。

对于非线性方程：

dX = λX − X³ dt

λ为参变量，方程的定态解满足：

（4.40）

所以定态解为：

λX-X3＝X（λ-X2）=0

0

X = Xi (λ) =

解 X 是参变量的函数，三个定态解如图 4.4：在λ=0 处，解分为三枝，λ=0 是分支点。以 x 表示某种扰动导致的解与定态解的偏离值，则扰动时的解为： X=X0+x

代入原方程（4.40），略去高次项，则非线性方程（4.40）的线性化近似式为：

其解为：

dx = ωx dt

x＝Ceωt

(4.41)

其中

ω = λ − 3X ²

各定态解所对应的ω值分别为：

X1=0，ω1=β