混合作用定量模型

混合作用，或混染作用，在一般意义上两者是一致的，指二种以上不同组成物质的混合。从特殊意义上讲，混染是指原始岩浆吸收了外界固态物质

（围岩）而使自身成分发生变化的作用，混合则是指岩浆吸收了外界熔体而使自身成分发生变化的一种作用。利用微量元素的定量混合模型探讨岩浆的形成和演化有着广泛的应用。

简单混合

它所描述的是来自两个不同原始岩浆的微量元素的完全混合。其方程为

C^L ＝C^L ·α＋C^L ·（1－α）（5.46）

1 2

式中C^L 和C^L 分别为混染岩浆和被混染岩浆中微量元素浓度、α为混染

1 2

岩浆所占的比例。

分离结晶作用前或后的混合作用对于分离作用前的混合方程

C^L ＝［C^L ·α＋C^L ·（1－α）］·f ^DS −1

（5.47）

1 2

对于分离作用后的混合方程

C^L ＝C·f ^DS −1·α＋（1－α）·C^L

（5.48）

岩浆房补充的混合作用模型用来描述地幔岩部分熔融所形成的岩浆进入有分离结晶作用的岩浆房的作用，实际上它是描述同时发生岩浆混合作用和分离结晶作用的。定量方程为

C = (C1 ·f1 1 2 Λ fn n )α + (1 − α)·C 2 ·f （5.49）

Allegre 等（1978）还给出许多类似的混合作用模型。4.同化混染分离结晶混合作用模型用来描述岩浆边发生分离结晶作用，边熔化围岩，使围岩由固相变为熔体相的一种综合模型。是由 Depaolo（1981）提出的，称为 AFC

（Assimilation and Fractional Crystallization）模式。它给出了分离结晶作用的不同阶段，残余岩浆中微量元素浓度的变化关系式。

设 Mm 为所研究的岩浆总质量； μ为岩浆中微量元素总质量； Cm 为岩浆中微量元素的浓度； Ca 为围岩中微量元素的浓度；

M& 为单位时间内岩浆分离结晶生成的固相质量，M ＝dM / dt；

c C C

M& 为单位时间内岩浆同化围岩的质量，M = dM / dt；

D 为微量元素固熔相的总分配系数；

根据所设参数的物理意义，可以得到下列三个微分方程

dμ = M& ·C − M& ·C ·D

（5.50）

dt a a C m

dμ = d(MC·Cm ) = C · dM m

M dCm

（5.51）

dt dM m

= M&

^m dt

（5.52）

dt a C

合并上述三式可得

dM m

=^a (C − C

) −^C (D − 1) ·C

（5.53）

dt Mm a m

Mm m

这是 AFC 模式的基本方程。一般情况下是无法得到其解的，我们来求特殊情况下的解

（1）当M& = M& ，即固熔相互相转换的数量相等。同时M = 常数，岩

a b m

总质量不变。这时，方程变为

dM m M&

D  C

 dM

=^a (C − DC ) =

 ^a − C

 · a

（5.54）

dt Mm a m

Mm  D

^m  dt

在 Ca 和 D 是常量时，对 Cm 积分得：

C = Ca 

 DM a   0

 DMa 

_m D 1 − exp−   + C_m · exp− 

（5.55）

  Mm    Mm 

其中C⁰ 是岩浆初始浓度，Ma

是进入岩浆的围岩总质量。该方程表示了

残余岩浆中元素浓度和混染围岩质量之间的关系，在最初时刻，Cm = C ⁰ ，当极大混染时 Ma/Mm→∞，这时 Cm 等于 Ca/D（图 5.6）。这种关系表明，岩浆分离结晶作用和围岩同化混染作用速率相等时，残余岩浆中微量元素浓度并不朝围岩浓度改变，即使围岩中微量元素浓度 Ca 要比岩浆中 Cm 低，只要微

量元素的D＜Ca / C ⁰ ，残余岩浆中微量元素将会增加，反过来亦是如此。这

就是它和一般混合作用的差别。

图 5.6 AFC 模式中岩浆元素浓度和围岩混染质量关系示意

（2）当M& ≠M& ，M& ＜M& 且M& / M& = r为一常数时，这种状况更符合

a c a c a c

实际，它最终导致分离结晶作用终止。这时方程式（5.53）可改写成

dCm

d ln f

= r − 1

Ca − ZCm

（5.56）

r + D − 1

其中Z＝ r − 1 ，f = Mm

M⁰ 为岩浆初始质量

/ M⁰

变量 t 已被改成 f，因为

dlnf＝dM m / Mm ＝（M&

）dt / Mm

（5.57）

＝（r - 1）· & a C

Mcdt / Mm

对方程式（5.56）积分得



C = C0 −Z

 r · Ca

−Z 

m m f



+  r − 1

ZC⁰

(1 − f )



（5.58）

该式表示了在r＜1 时岩浆中微量元素浓度是如何随残余岩浆份数f 而改变的。

对于强不相容元素，D《1，故 Z≈1，如果 f 很小时，方程式（5.58）可近似简化成

Cm / = C⁰

≈ f ⁻¹·



Ca r 

0 · (r − 1) 

（5.59）

式（5.59）可以和单纯的分离结晶作用模型相比，当 r＝0 时，它和简单分离结晶作用模型相同。

对于中等不相容元素，如果 r＋D≈1，则 Z≈0，f-Z→1-Zlnf，式（5.58）可简化成

C / C⁰ = 1 

r  Ca

ln f

（5.60）

_m _m +  r − 1 0

对于相容元素，D＞1，当 r 较小时，Z 是一个很大的负数，一旦 F-Z《1 时，方程式（5.58）可简化成

Cm =

r·Ca

r + D − 1

（5.61）

这时，残余熔体中相容元素的浓度与岩浆初始浓度C⁰ 和残

余岩浆份数（分离结晶程度）f 无关，仅取决于 r，D 和 Ca，接近一常值。

图5.7为r = 0.2时，不同D值的微量元素在不同Cm / C ⁰ 时随f值的变化情况。图中对比了简单分离结晶作用。由图 5.7 可知，当 D《1（Rb，U，Th）时，随分离结晶程度增加；AFC 模式

中残余熔体内微量元素浓度较分离结晶作用中浓度富集。当 D＞1 时，残余熔体内相容元素将发生亏损，随分离结晶程度加强（f 变小），这种亏损将达到一个极限，所以在有混染作用发生，并且分离结晶程度较大时，利用相容元素的亏损来判别分离结晶作用程度是不可行的。

5.通用二元混合方程

Vollmer（1976）和 Langmuir 等（1978）先后给出了二元混合体系微量元素浓度的通用表达式。该式理论上可适用于任何元素和同位素。对任何一个二组份混合体系，其方程为

Ax＋Bxy＋Cy＋D＝0 （5.62）

其中 x，y 是横坐标、纵坐标的变量，可以是元素或元素的比值。如我们任意选定 Q，P，a，b 四种元素，则该方程在以 Q/a 和 P/b 为坐标的图解中构成双曲线方程，如图 5.8 所示。A，B，C，D 为有关系数。

图 5.8 通用二元混合的图解表示法

（a），（b）表示两种混合端元不同位置时的情况。图中沿曲线的数字是双曲线方程的曲率·r=1 时，混合曲线为一条直线（据 Langmuir 等，1978）

当两个坐标都用元素比值时，方程系数为 A＝a2b1y2-a1b2y1

B＝a1b2－a2b1r＝a1b2/a2b1 C＝a2b1x1-a1b2x2 D＝a1b2x2y1－a2b1x1y2

其中 xi，yi（i＝1，2）为数据点的坐标值，ai 为 yi 的分母值，bi 为 xi 的分母值，r 为与系数 B 有关的数值，反映了混合双曲线方程的曲率，是两组份间曲率的函数。当 r＝1 时为直线方程。

当二个坐标中一个为元素比值，另一个为元素时，如设 x 轴为元素，则b＝1，这时：

A＝a2y2－a1y1 B＝a1－a2 r＝a1/a2 C＝a2x1－a1x2 D＝a1x2y1－a2x1y1

当 r≠1 时，仍为一条受 B 控制的双曲线，当二个坐标均为元素时，a＝b

＝1，

A＝y2－y1 B＝0 r＝1 C＝x1－x2 D＝x2y1－x1y2

此时，为一直线方程。

尽管这一方程可适用于任何元素，但各组份间主要元素的差异不是十分显著、用主要组成元素作图时，关系容易模糊。因此需选择两组份中微量元素含量相差大的进行作图。还应尽可能是广泛分离（具有不同比例的二组份）的样品，有时候选择合适的元素比值比仅用元素对这一过程的判别更灵敏、更可靠。特别是同位素关系，由于它对各种地质作用的稳定，使得用同位素关系来判别更为稳定和有效，这将在同位素一章的 6.8 节中进行讨论。

最后，应该指出，上述各种部分熔融、分离结晶和混合作用定量模型的建立，都是有条件的，各自有不同的前提，不可无限制的使用。如除在多阶段熔融和分离作用模型中可允许有 D 值不同外，其余各种模型都要求过程中D 是一个常量。另外既然是模型，就不可能完全符合自然界的实际情况，它只是对复杂的自然地质地球化学作用过程的一种近似。