（四）开发学生潜能的“综合构建数学教学新体系”的教育实验

“综合构建数学教学新体系”由我国音乐教育家、教育心理学家赵宋光教授首创，先后在北京、广州等地普教系统作了实验，取得了良好效果。根据“综合构建”思想设计的小学语文、自然常识、工具使用、音乐教育等课程的实验也在数学教学实验之后起步。这一实验力图探索一条按照现代哲学、美学、心理学、教育学所揭示的儿童智力结构、意志结构、情感结构立体镶嵌、全面发展的规律，大幅度改革中小学教材教法的新路。

1. “综合构建”实验思想的提出及其意义 “构建”一词取自于皮亚杰的发生认识论中的重要术语：Scheme 和

Construction。在这两个词语中前者指的是动作的心理结构模式，即图式； 后者指的是这种心理结构从无到有、从小到大的发生、生成、发育、成长过

程，即建构过程。这两者的内在联系说明了皮亚杰的发生认识论是以认知结构须通过主体的动作活动而生成这一论断为中心的，但他的学说中有某种程度的生物学化的倾向。

“构建”用之于实验，既表现与皮亚杰基础观点的一致之处，但又有不同之点。实验者认为，马克思主义人类学观点强调使用工具的操作图式原则上不同于赤手空拳的动作图式，工具延长了人类的肢体，也使主动活动过程中形成的心理结构上升到超生物的水平，并使这心理结构得以沿着社会的轨道发生、生成、发育、成长。在社会化条件下，使用工具的操作图式在构建过程中自然而然地同语言符号相结合，构建成“操作言语镶嵌结构”而导致从感性认识向理性认识的飞跃①。由此提出自觉运用这一心理发展规律，就要在教育过程中，向受教育者提供一系列精心设计的学具，包括实物性的和符号性的两类学具，诱发学习者以操作与言语活动模仿那些经科学设计而当场由教师示范的操作——言语模式，进行主动的自我构建，形成关于学习的新学说，即构建生成学习理论。

“构建”不是单方面进行的，而需要从综合的角度进行实施，因为良好的心理结构必须从多角度的发展中生成。第一，从知识学科领域的角度要求综合构建，就在于各门课程之间和一门课程内部各学科之间的相互补充配合，就数学而言，就需要实现算术、代数、几何的综合；第二，从受教育者生理心理器官的角度要求综合构建，就在于使人的外在感觉运动器官与言语运动中枢神经系统综合运用，形成多器官镶嵌诱导同步发育的立体化心理结构；第三，从教学过程所采用的教具、学具、教材、作业等教学手段的角度要求综合构建，就在于使教学手段的丰富多样功能得以发挥；第四，从作为教学目标的学生心理素质的角度要求综合构建，就在于使智力、意志、情感三方面的心理素质得到均衡的发展，每方面又都有受于外和发自内两个势向的心理活动互相补充。

“综合构建”的思想，从使受教育者的生理心理结构和功能得到完善的建立与充分的发展这一点出发，将教育过程看作是这一结构的构建过程，而构建的动力来自于受教育者的主动性、进取性、探索创新精神；构建的模式来自于人类悠久文明、科学技术文化艺术成果和自然界普遍规律中所提炼得到的美的规范。既强调教育者的外部作用，又注意受教育者的内部动力的激发，使构建过程成为动力与模式作用的统一，避免了填鸭式与自由化的教学弊端，使学生的素质得以全面提高。

1. “综合构建”实验的特点

“综合构建数学教学新体系”实验把目标定在迅速提高中华民族一代新人的素质上，它所采用的崭新的教学手段，带来了课程结构、教学内容系统的重大变化，使小学生甚至幼儿在受教育的过程中，逐步形成辩证思维的基础。它能让小学生在两年半到三年内学完现行小学六年的数学教材内容，而且使知识与情感、意志、智能交融发展。这个实验开创了基础数学教学的新局面，即是加深程度和减轻难度、减轻负担同时实现，使我们得到关于教学改革一系列问题的启迪。纵观实验过程，有三个显著特点：①

1. 在教学手段上打破了传统教学单纯靠语言、忽视学生立体实践活动的旧习惯，使之在教学过程中，时刻注意以直观教（学）具、符号格局、肢体动作、言语活动这四个要素紧密配合，形成一整套操作训练模式，使从具体到抽象的认识飞跃建立在学生亲身实践（操作）的基础上。这种系统化的

操作是对中国“动口不动手”教学传统的突破。

1. 在教材内容系统的编排上，打破了统编教材分块组织内容和过分强调反复练习、进度过慢的安排，真正抓住算术、代数、几何三者的内在联系， 以代数方法指导四则运算教学，以方程模式（两岸阵）和比例模式（四方阵） 指导解应用题，以质因数连乘积形式（质因积）指导学生掌握不同数学领域的内在贯通性，以透彻消化数学知识。因此现行小学六年教材在实验中可以在两年半内教完。

2. 在教学目标上，不满足于统编教材关于掌握数和形、会进行四则运算、培养逻辑思维能力和空间观念的一般性要求，而是进一步提出使学生在数学学习和技能训练相统一的基础上，培养收敛式思维和发散性思维、逻辑思维和直觉思维的种种能力，达到智能结构、意志结构和情感结构的全面构建。

1. “综合构建”实验的实施效果

根据冯国文、饶惠椿两位同志的调查报告，发现实验的特色是脚踏实地从中国国情出发，具有中国特色的，又是高瞻远瞩地面向现代化、面向世界、面向未来、具有国际先进水平的。小学一年级学生能够很轻松、有兴趣地学习小学高年级和初中的数学内容，而且不加重负担。并在一些教学方式上有新的发展。

（1）通过操作完形对学生进行加减数量关系的思维训练

所谓操作完形，就是指在加减数量关系教学中对一组数量关系的完整的操作模式，内含感性、理性、互逆、互换四种要素。感性操作是摆弄实物的操作，理性操作是符号的操作，互逆是指加与减互为逆运算，互换是说算式中的项在一定条件下可以互相交换位置。

如在进行 3 的操作完形时，整个教学过程是这样的：先通过实物的感性操作（用小白兔图形表示数）这一感性层形式和朗读、书写（向理性过渡的准备），接着对算式动手变换，并学习带手势变换算式的歌谣（理性层）：

1. 头尾对调，加减改号（互逆性）；（2）加号前后，可以对调（互换性在加式中）；（3）减号后、等号后，可以对调（互换性在减式中）。由这三句歌谣统率四个算式组成一套心理活动，就是一个操作完形。这三句歌谣就是以主体动作进入学生智能结构中的代数知识，就是能够统率并组织大量算术知识的代数推理规则。虽然小学生初学时自己尚未意识到这一点，最初建立操作完形时，又摆弄实物，又表演动作，似乎慢了点，但一旦操作完形建立了，孩子们凭借这一模式，学习新知识就带有浓厚的复习意味。他们能看着一张张点子图（上面画有不同色彩的圆点）主动构筑大批加减算式，从不出错，从而进度大大加快①。

   1. 运用“四方阵”这种理性直观解应用题

解应用题历来是小学数学的难点，而“综合构建”实验创设了“两岸阵”、“四方阵”这些解应用题的模式，取得了显著效果。“两岸阵”实质上是以方程的思想来解加减应用题，它要求“河”两岸的量相等。掌握这个规则， 一年级学生就能解加减的六种应用题和含负数的加减应用题。

“四方阵”实质上是按比例的数量关系构成的，它是乘除应用题的审题、解题模式。审题时要求将应用题中的数摆成四方阵势，从每个数和 1 的方位关系这一感性知觉可以直观地把握抽象的数量关系以及各数之间相互推算的逻辑关系。这不仅使学生能从整体上把握数量关系的结构，而且能一瞬间就

断定解法。“四方阵”是在乘阵操作完形的教学中就作为背景引入的。第一批操作完形建立之后，把“四方阵”从背景拉到前台，明确地建立有关概念。教学过程分为三步：第一步，明确“四方阵”的摆阵规则；第二步，掌握“四方阵”的解法（列式）规则；第三步，进行应用题的审题（摆阵）、解题练习。

在审题、解题练习中，每道题的做法要经历六个步骤：

①让学生读题；

②让第二个学生说出题目里讲到了哪些单位名称，教师则在十字框架的横线上跨写单位名称；

③让第三个学生到黑板前摆阵，先按“同名”、“对应”关系选择方位， 后用“单量”、“份数”、“总量”概念来核对每个数跟 1 的方位关系，教师按学生的意见把数字和 X 填入阵内；

④让第四个学生到黑板前点方位说出抽象的解阵公式；

⑤让第五个学生到黑板前说出具体的算式，教师在黑板上写出这个算式；

⑥让第六个学生说出得数、单位名称和答句，教师照他所说的写。

可以看出，以上的①、②是从应用题的语句这个表层结构出发，到③、

④时，就摆脱了语句文字的束缚而进到数量关系的深层结构，⑤、⑥则又回到了表层，但这已不是问题情景的表层而是得到解答的表层了。从这里我们可以看到，经过学生主体涉及对象外观的操作，言语活动按照规律形式的多次重复，会建立起一种心理结构，这个心理结构使主体有能力在对象外观的形式中看到自己操作的形式，在对于对象外观的直观知觉中加进自己的理性行为。这种水平的直观，称之为“理性直观”①。

这种“理性直观”在教育心理学的理论上是有开拓意义的。因为大量新的科学原理、定律、公式和新的技术设计正是在直觉思维——跳跃式、顿悟式、灵感式的思考中萌发、涌现的。推理和直觉是两种互补的思维。直觉是长期推理思考的凝聚，是渐进性的“中断”，而逻辑推理则是直觉的铺陈， 是证明程序的条理化，是新的渐进。在解“四方阵”的六个程序中，学生面对应用题的语句这个表层结构，首先考虑的不是无根据的猜测和试算，而是思考数量之间的关系这个深层结构，在摆阵时要想清楚如何安排才符合数量的逻辑关系，而且面对一题多解还要加以选择，然后再回到表层结构（列式计算），这正是逻辑思维的训练过程。而学生面对完整的符号格局的外观， 从整体把握中马上可以断定解法，这正是对直觉思维能力的培养。由此，理性直观是直觉与推理的交叉点，是形象思维与抽象思维的交叉点，是两种思维的辩证统一。

1. 运用质因积形式这种记数的结构模式以沟通不同领域的数学信息质因积是质因数的连乘积，原来是五年级的一项传统教学内容，现在要

求孩子们从一年级起就像记十进制一样把它作为常用的记数形式来熟记。当乘除操作完形和小九九的教学开始后，马上引入质因积形式。伴随小九九口诀，把每个口诀里的乘操作表现为质因数的连乘积。即把乘操作所含的因素分解为质因数，每个质因数都是乘操作的细胞，由此便可以建立大量的连乘积。孩子们发现，“六六三十六”，前面的 6×6，可以分解为 2.3.2.3（小圆点表示乘），而“四九三十六”，前面的 4×9 也可以分解为 2·2·3·3。这样，两句口诀就以一种共同的结构沟通了。许多句口诀中共同的东西借助

质因积显示了出来，形成信息中转站。乘操作细胞保留在符号形式中，直接展现在学生面前，这同样是一种理性直观。质因积的学习是随着小九九口诀的学习扩展出来的，口诀带出了大量的质因积，而质因积反过来让学生透彻地消化了口诀。

质因积具有一个基本性质，即质因数排列可任意变化，一种组合与一个积唯一不二地互相对应。在除式中可以通过“倒子”来转译为质因积形式。所谓“倒子”其实是分母为质数的分数单位，它体现了除数。如 10÷5＝2 改写为 2·5·1/5＝2；10÷2＝5 改写为 2·5·1/2＝5，转译以后，“1/5” 和“1/2”这两个数就称为“倒子”，而原来不是倒子的数，如“2”和“5”， 则称为“顺子”。为了帮助学生熟练掌握，用歌谣形式来记住规则：甩掉除号，顺子改倒；同数顺倒一齐甩。如 2·5·1/5＝2 和 2·5·1/2＝5，这在形式上已与分数的约分一样了。实践证明，质因积给孩子们的理解力和想象力插上了翅膀，大大促进了学生智力和技能的发展。在对一年级学生进行的测验中，研究者出了三十一道要用到质因积的整数、分数、小数的四则计算题，如①4×6，②48÷8，③比大小：2/3 和 5/7；1/4 和 3/20；④1/8×6；

⑤24÷8/9，⑥看数写质因积：420；

1

⑦看质因积写小数： 2·5·2·5·2·5 ·7·7。在总数5022题中，学生

掌握规则方面有错的 193 题，其他错的 116 题，共错 309 题，占 6.2％，全对题占了 93.8％。

这些高位数和小数为什么会使一年级学生学起来毫无困难，关键就在于质因积、面积图、十底幂三者互相配合的综合构建。在“综合构建”实验的十进制教学中，第一段，教万以内位名。上课之前挂好一张面积图（见图2.3），然后在挂图右边写出数式：

2·5=10（十）

2·5·2·5=102（百）

2·5·2·5·2·5=103（千）

2·5·2.5·2·5·2·5=104（万）

讲课方式是指图与指式交替进行，手指与口说配合进行，在教师操作、言语活动带领下，学生内心操作、视、听、说有机结合。①

图 2.3 面积图

第二段，教从万到亿的数。还是用同第一段教学时相仿的一张大挂图， 图题上写着：“从高楼上往下看到的”，图里的数字相应写为 10⁴，5×10⁴，

10⁵，5×10⁵，10⁶，5×10⁶，10⁷，5×10⁷ 质因积形式和位名也相应改变。第三段，教从亿到兆的位名。又一张相仿的大挂图，图题为“从飞机上

往下看的”，图上数字改为 10⁸，5×10⁸，10⁹，5×10⁹，10¹⁰，5×10¹⁰，10¹¹， 5×10¹¹，质因积形式和位名也相应改变。①

在质因积中，“倒子”具有多重身份。第一，在十进制除式转译为质因积除式时，“倒子”相当于除数；第二，“倒子”相当于分数单位；第三， “倒子”相当于分母；第四，两段倒 2·5 相当于百分号，有利于分数与百分数互化；第五，几段倒 2·5 相当于小数位名，便于分数与小数互化，为十底负几次幂的引入作了充分准备。

从以上高位数与小数的教学过程，充分显示了综合构建思想。在数学学科上，它是算术、几何、代数的交融贯通；从教育心理学角度，它体现了教学过程调动视、听和手、口等器官互相配合的功能，有利于理性认识器官的构建；另外从教育哲学的角度，这正说明了综合构建的根本思想。数学学科的综合构建，与学生认知活动的综合构建相结合，造成学生主体知识与智力技能同步发展，构建起良好的智能结构。这一智能结构的建立大大提高了儿童学习内容的程度，而又大大降低了学习的难度，减轻了学生的负担，这是教学理论与实践上的重大突破，值得大家高度重视。