Ⅲ.集聚

§1 经济函数及其图解。假如来自集聚的节约大于运输成本增长，那么拥有日产量 M 的大生产单位将吸引（集聚）位于距离γ处拥有日产量 m 的小的生产单位。运输成本容易求得假如 A 是生产的区位重，很明显，对于每吨产品，附加运输成本为 Aγ吨英里，总的附加运输成本为 Aγm 吨英里或 Aγ ms 货币单位，这里 s 是运价。

产生于集聚的节约依赖于生产的类型。对每一种生产类型，设想我们把每一个或任一个集聚量产生的每吨日产品的节约记入表格中。这些节约是由集聚量 M 产生的；节约是 M 的函数：φ（M）。我们可以用直观清晰的解析形式取代上述列表方法。我们以两个相互垂直的轴线的交点划定 M 值。线段 M 称为横轴，在每个横轴端点竖一条垂直线，给出与其节约函数中φ（M）相应的长度。这些直线称为纵轴。以此，我们在平面内得到一些点，它们构成一条曲线，该曲线表示了节约函数的全部过程。

§2 集聚的基本公式，集聚函数。假如 M 是大生产单位的日产量，集聚产生对单位产量的节约是φ（M），因而，对于日产量的总节约为：

Mφ（M）

假如拥有 m 生产量的小生产单位被大生产单位合并，则总的节约量达到:

（M＋m）φ（M＋m）

据此，集聚产生的节约增量为：

（M＋m)φ（M＋m）—Mφ（M）只要此值大于运输成本的增量 Arsm（参见上文），集聚就会实实在在地发生。我们从而得出下列用于计算大生产单位吸引力延伸的最大距离范围的公式：

ARS = (M + m)φ(M + m) − Mφ(M)

m

等式右边包括 M 和 m。如果 m 相当大，它确实要对 R 的值产生影响，但是问题的实质是在 m 远小于 M 的情况下讨论的。等式右边变得与 m 完全无关，它只是 M 的函数；我们首先设等式包括 m，然后是 2m。我们从图 61 中看到，三个互相套选，显然其面积分别为：

Mφ（M），（M＋m）φ（M＋m），（M＋2m）φ（M＋2m） 它们的差，过去称为磐折形，由事先给定的量决定。大磐折形面积为

（M＋2m）φ（M＋2m）—Mφ（M） 显然当 m 减小时，它接近与其中之一部分的

（M＋m）φ（M＋m）—Mφ（M）

两倍。于是有：

(M + 2m)φ( M + 2m) − Mφ(M) = (M + m)φ(M + m) − Mφ( M)

2m m

这一等式基于我们已作声明的可以不计 m 和独立性而成立。

(M + m)φ(M + m) − Mφ(M)

函数f（M） = m

被称为集聚函数。先前的分工现在演变为：

AsR=f（M）

这是集聚函数的基本公式。它表示量值为 M 的生产单位，其有效集聚力的半径与集聚函数成正比，而与区位重，运价成反比。

§3 集聚函数的图示。为了得以清晰地了解，我们将集聚函数如同前边的节约函数一样，用解析图表示（图 62）。在此图中，

垂直于极值点 M 引出的轴的线段长度为 f（M），从极值点 M 划出的小线段长度为 m，它们构成一个狭条状平面，此平面两侧上于纵轴 f（M）和 f（M＋m）， 顶端是函数曲线。我们可以将此条状平面看作底为 m，高为 f（M）的矩形计算其面积，m 越小越精确。条形的面积为：

mf（M）=（M＋m）φ（M＋m）—Mφ（M）

它表示当集聚值从 M 到 M＋m 时，引起的日节约量的增量。如果我们现在看一下横轴 M 上方的整个平面，它以解析曲线和纵轴为界。可以分成一系列的窄条状，从而这个平面的值就是从集聚过程的开始到 M 值时全部节约增量的总和；换言之，它是在 M 点的总集聚节约。它等于：

Mφ（M）

最后，我们便可得到φ（M）本身的概念。我们想象（图 62）两个坐标轴和 M 点处的纵坐标是不透性壁，上述平面正背两面置以两块不变形的金属夹板。假如使金属夹板之间充满液体，液面自动调节为一个水平面。既然所形成的矩形面积为 Mφ（M），且以 M 为底，所以高就是φ（M）。通

通 常其值不为 0。

§4 均一分布的小规模生产单位的集聚。让我们设想小规模的生产单位均一遍布在某一区域。假如大规模生产单位在此区域内发展，它将吸引一定半径范围内的较小的生产单位。假如我们要想借助集聚公式算出这个半径， 就必须牢记 M 自身在集聚过程影响下的改变和增长。我们设 P 为在初始的均一分布下每一单位面积生产的日产量，并称此为生产密度。则如果（图 63） 于 G 点的一个大规模的生产单位吸引所有生产的能力恰达到半径为 R 的圆周，那么就必须达到如下大的量：

πR2ρ

从而 M 值引入此集聚公式，或者说 R 必须这样求得

πR2ρ=M

然后，推导出

R = πρ

ARS=f（πR2ρ）

或

AS(

M ) = f (M)

πρ

我们必须从这个等式计算 M。这当然只有在集聚函数 f（M）已知时才有可能。但是假如我们找出集聚量 M 的值，则很容易指出所研究的区域中已存在的适量的大生产单位的数目。因为如果以Ω表示全区内日生产总量，此数目明显就是

Ω

M

§5 用集聚函数解析图确定集聚量。根据所述的方法，M 用下列公式决

定

AS

  • = f(M)

我们设想在图中作第二条曲线，它代表 f（M）的几何图形，对于每一个横坐标 M，纵坐标为

N =

（图 64）。我们得到的这些点构成一条著名的曲线，叫抛物线。

存在着几种可能性。f（M）曲线可能恰好从起始点在抛物线之下延伸并保持在其之下。这种情况下等式不成立，恒有

N＞f（M）

其含义明显是运输成本的增量永久不能被任何集聚量的集聚节约企及。这种情况下，集聚是不可能的。

第二种情况，曲线 f（M）可能开始在抛物线上方，然后在某一点与之相交，该点之后保持在其下方。这种情况下，集聚将在两条曲线的交点的横坐标所指明的量值之前发生。

第三种情况下，f（M）自始至终都落在抛物线之上，这看来，与任何现实情况都不相符合。