百鸡问题

中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值 5

文钱，母鸡每只值 3 文钱，而 3 只小鸡值 1 文钱。现在用 100 文钱买 100 只

鸡，问：这 100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？

这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下：

设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x、y、z 只，由题意得：

x+y+z=100①

5x + 3y + 1 z = 100②

3

有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。

②×3-①得：7x+4y=100，因此

y = 100 − 7x = 25 − 7 x

4 4

由于 y 表示母鸡的只数，它一定是自然数，而 4 与 7 互质，因此 x 必须是 4 的倍数。我们把它写成：x=4k（k 是自然数），于是 y=25-7k，代入原方程组，可得：z=75+3k。把它们写在一起有：

x = 4k

y = 25 - 7k

z = 75 + 3k

一般情况下，当 k 取不同数值时，可得到 x、y、z 的许多组值。但针对本题的具体问题，由于 x、y、z 都是 100 以内的自然数，故 k 只能取 1、2、3 三个值，这样方程组只有以下三组解：

x = 4

x = 8

x = 12

y = 18

y = 11

y = 4

z = 78

z = 81

z = 84