稀世珍宝

在东京珠宝收藏博览会上展出一棵 18K 金的圣诞树，在 3 层塔松形的圣诞树上共镶嵌有 1034 颗宝石。

这棵圣诞树上的宝石是这样摆放的：如果从顶上往下看，3 层圆周上镶嵌的宝石数成等差级数递增；而 3 层圆锥面的宝石数却按等比级数递增；且

第一层的圆周上与圆锥面上的宝石数相等；除此之外，塔松顶上有 1 颗宝石是独立镶上的。请问，圣诞树的宝石具体是怎样镶嵌的？

解答：假设三层圆周上的宝石数分别为 A、B、C，则：

B=A+m C=A+2m

其中 m 为等差系数。

因为第一层圆锥面上的宝石数等于圆周上的宝石数，所以可假设三层圆锥面上的宝石数为 A、D、E，那么：

D=nA E=n2A

其中：n 为等比系数。

由于树顶上那颗宝石是独立的，所以：

A+B+C+A+D+E+1=1034 A+A+m+A+2m+A+nA+n2A=1033

解此方程，只有一种可能：

A（n² + n + 4） = 1000

3m = 33

根据 m、n、A 均为整数，得：

m = 11

n = 2

A = 100

因此，宝石的镶嵌是这样的： 塔松顶上有 1 颗宝石；

第一层圆周上 100 颗宝石，圆锥面上 100 颗宝石；

第二层圆周上 111 颗宝石，圆锥面上 200 颗宝石；

第三层圆周上 122 颗宝石，圆锥面上 400 颗宝石。