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将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友—— 9 来帮助解决问题。我们知道，
a
在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：S = 1- q 。其中a是这个数
列的第一项，q 是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数：0.6666⋯⋯=0.6，0.242424⋯⋯=0.24。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：
0.666⋯⋯=0.6+0.06+0.006⋯⋯
= 6 +
10
6
100
+ 6 +
1000
6
10000
+Λ Λ
0.242424⋯⋯=0.24+0.0024+0.000024⋯⋯
= 24
100
+ 24
10000
+ 24
1000000
+Λ Λ
1
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0.6666
的公比是 10 ，而
0.242424
的公比是
1
100
。根据求和公式得：
6
0.66Λ Λ 10 =
6 = 6
1
1 − 10
24
10 − 1 9
0.242424Λ Λ 100 = 24
= 24
1
1 − 100
100 − 1 99
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数字化为分子，让分母由 9 组成，循环节有几位数字，分母是几个 9 就行了。例如：
- 4
0.4444Λ Λ = 0.4 = 9
• • 56
0.5656Λ Λ = 0.56 = 99
031233123Λ Λ =
• • = 3123 =
347
0.312 3
下面再来看看以下两个循环小数：
9999
1111
0.2888
• • •
= 0.28 , 0.3545454Λ Λ = 0.354 它们都不是从小数点后的第一
从小数点后的第一位开始循环，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
2 8 8 8
0.28888 =Λ Λ + + + +Λ Λ
10 100 1000 10000
0.35454Λ Λ =
3 + 54 +
10 1000
54
100000
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以 1 、
10
1
100
为公比的无穷递
缩等比数列。由求和公式得：
8
0.2888Λ Λ = 2 + 100
= 2 + 8
10 1−
1
100
10 100 − 10
= 2 +
10
8 = 2×9 + 8
90 90
= 26 = 13
90 45
54
0.35454Λ Λ = 3 + 100
= 3 + 54
10 1 −
1
100
10 1000 − 10
= 3 = +
10
54
990
= 3×99 + 54
990
= 351 =
990
39
110
由此可以看出：把混循小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由 9 和 0 组成，9 的个数等于一个循环节的位数，9 的后面写 0，0 的个数等于循环部分的位数。例如：
- 27 − 2 25 5
0.27777Λ Λ = 0.2 7 =
90 = 90 = 18
0.31252525Λ Λ
• • = 3125 − 31 = 1547
0.312 5
9900
4950
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，善于总结出一般规律的思考方法。
