折纸的面积

一张等腰直角三角形的白纸，用 3 种折法：（1）A 点折到 B 点处，形成一个三角形 DCB；（2）A 点折到 C 点处，形成一个梯形 EDBC；（3）A 点折到BC 边的中点 F 点处，形成一个不规则四边形 GDBC，这 3 个图形，面积的变化情况是怎样的呢？

（1）设等腰直角三角形ABC直角边长为a，△ABC面积为 1 a ² ，则

2

1

△DBC的面积 = 2 △ABC的面积

1

1 2

= 4 a

1

 1  ²

（2）∵△AED的面积 = 2 AE·ED = 2 •  2 a

= 1 a²

8

∴梯形EDBC的面积 = △ABC的面积 - △AED的面积

= 1 a ² − 1 a³ = 3 a ³

2 8 8

（3）∵GA=GF GA=AC-GC 设 GC=x GA=GF=a-x

GF2=GC2+CF2

(a − x) ²

= x² +  1

 2

 2

a

a ² + x² − 2ax = x² + 1 a ²

4

2ax = a ² − 1 a ²

4

2x = 3 a

4

3

x = 8 a

∴AG = a − 3 a = 5 a

8 8

在△DFB 中，设 DF=z，则 AD=z

DB =

2a − z BF = a

2

∵DF2=DB2+BF2-2DB·BF·cos45°

∴z² = (

2a − z) ²  1

 2

 2

a − 2(



2a − z) a

2 2

z² = 2a ² + z² − 2 2az + 1 a² − a ² +

4

2 za

2

5 a ² = 3 3 az

4 2

z = 5 2 a

12

△AGD的面积 = 1 ·AD·AG·cos45°

2

= 5 2 • 5 2 a = 25 a 2

32 12 192

∴四边形GDBC的面积 = △ABC的面积 - △AGD的面积

= 1 a ² =

2

如果令原△ABC面积为S0 ，则

25 a 2 =

192

71 a 2

192

（1）△DBC的面积

1

= 2 S0

3

（2）梯形EDBC的面积 = 4 S0

（3）四边形GDBC的面积 = 71 S

192