36 名军官问题

设有 6 种军衔和来自 6 个团的 36 名军官，能不能把他们排成 6×6 的队

列，使得每行每列里都有每种军衔的 1 名军官和每个团的 1 名军官呢？

这是 18 世纪瑞士数学家欧拉提出的一个趣味数学问题。它在统计学，尤其是在试验设计中有重要的影响。

为了易于说明，我们先考虑有 3 种军衔和来自 3 个团的 9 名军官。用 1、

2、3 分别表示 3 种军衔，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示 3 个不同的团，这时，相应的问题的解答是：

1 2 3

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

   

3 2 1 

2 3 1 

Ⅲ Ⅰ Ⅱ

Ⅱ Ⅲ Ⅰ

 

军衔阵列 团阵列

(1, Ⅰ) (2, Ⅱ) (3, Ⅲ)

 

(3, Ⅱ) (1, Ⅲ) (2, Ⅰ) 

(2, Ⅲ) (3, Ⅰ) (1, Ⅱ) 

 

上面军衔阵列和团阵列分别是由 3 个不同符号构成的 3 行 3 列的阵列（3

×3），其中每个符号在每行与每列恰好只出现一次，我们把这种阵列叫 3

阶拉丁方。而并置阵列中 32 个有序对都是不同的（即并置后，所有可能的 9 种情况都出现了），称军衔阵列和团阵列是正交拉丁方。

那么，36 名军官问题就成了：是否存在 6 阶正交拉丁方呢？欧拉曾猜想， 阶数为 4k+2（k 是正整数）的拉丁方，任何两个同阶的拉丁方都不是正交的。容易证明 2 阶拉丁方不正交。1901 年法国数学家 Tarry 用穷举法证明了不存在 6 阶正交拉丁方。直到 1959 年才有 3 位统计学家终于证明了，除了 2 阶和

6 阶外，其他情况都有解。欧拉的猜想中，除这两种情况外，其余都猜错了。