在数学中锻炼思维

陈德前

数学是锻炼思维的体操，学习数学能够锻炼思维，学习数学又必须依靠学习者的思维能力，每个中学生要自觉地训练自己的思维，提高思维能力， 这是学好数学的关键。本文试介绍一些在学习数学中提高思维能力的方法， 供同学们参考。

一、让你的思维灵活一点

常有些同学问：我的大脑为什么这么死？这里的“死”就是指思维不灵活，在处理问题时总是墨守成规。

“文化大革命”前的某年高考试题中曾有这样一道数学试题：“南京的白菜几分钱一两？”不少考生对此题却感到束手无策。因为他们认为按照常规思维，是很难统一给出答案的；如果你也在想，南京的白菜现在到底是几分钱一两呢，这就是你思维不够灵活了，因为这里的“钱”可从货币和重量两方面理解，当从货币方面行不通时，可从重量的角度去想，无论何时何地， 两与钱的关系是永恒不变的。这样就可以轻而易举地给出答案来了。

因此，要想使你的思维灵活些，就要设法超脱固定的思维方式，打破框框，有目的地变更和转化思维方式去解决问题。

现在我们再举一个例子。

例 1.如果 y＝（x－1）a2＋3a 在 0≤x≤1 时永远是正数，请求出 a 的范

围.

分析：这个题目初看很棘手，其实我们只需稍作变形为 y＝a2x＋（3a—

a2），就成了关于 x 的一次函数，它的图象是一条直线，要使函数在 0≤x≤ 1 时永远是正数，只要保证 y 在 x ＝0，及 x＝1 时是正数就可以了。

当 x＝0 时，y＝3a—a2，当 x＝1 时，y＝3a.

因此有 3a＞0，即 0＜a＜3，这就是要求的 a 的范围. 3a—a＞0.

二、既要会正思，也要会反想

司马光幼时砸缸救人的故事是同学们十分熟悉的.当时，一般人的想法是让人离开水，这对一群孩子说是无能为力的，这实际可以看作是一种正向思维；而司马光却在正思进行不通时改用逆向思维，把缸打破，让水离开人， 从而救出了同伴. 我们解决数学问题也需要有逆向思维，即要善于“倒着干”.

例 2.已知方程 A：x2＋4mx＋3－4m＝0，B：x2＋（m－1）x＋m2＝0，C： x2＋2mx－2m＝0 中至少有一个方程有实数根，求 m 的取值范围.

分析：本题有多种解法，但如果先从反面去考虑，解法显得特别简单。即假设三个方程均无实根，则有△A＜0，△B＜0，△C＜0，因而得－32＜m

＜－1.即当－32＜m＜－1 时，三个方程均无实根，那么当 m≥－1 或 m≤－32 时，三个方程中就至少有一个方程有实根.

三、张开你思维的翅膀

思维是广阔的，思维的广阔性是一种不依常规，寻求变异，善于抓住问题的本质特征，全方位思考，多角度发散，得出多种思维的思维方法。在学习数学时，要经常练习从多角度、多方向去思考问题，自觉地进行一题多解和一题多变的训练，学会变更问题、联想、类比，这些都可以提高思维的发散能力，使思维更加广阔。对于一题多解和一题多变，这方面的例子很多， 同学们也很熟悉，这里只举一个变更结论的题目.

例 3.已知 x＋y＋z＝1x＋1y＋1z＝1，求证：x，y，z 中至少有一个等于 1.

分析：要证明“x，y，z 至少有一个等于 1”，等价于要证明（x－1）（y

－1）（z－1）＝0，而（x －1）（y－1）（z－1）＝xyz－yz－xz－xy＋x

＋y＋z－1＝xyz[1－（1x＋1y＋1z）]＋（x＋y＋z－1）＝0.

一道难题，通过变更处理，简捷而圆满地解决了。如果能经常这样考虑问题，日久天长，你的思维就会广阔，解题能力将会大大提高。