要学会猜想

官国保

学习数学离不开解题，要解题就必须寻找解题途径，每个同学都希望自己在解题时能够迅速、准确地找到解题途径。 要达到这个目的，就必须在学好基础知识的同时，掌握一些科学的思考问题的方法。这里仅向同学们介绍一种平常较少提到却行之有效的思考方法——猜想。

猜想是对事物发展规律或变化方向做出的一种“试探”性判断。这种判断并没有经过严密的推理和验证。虽然解数学题要求言必有据、严密推理， 但在考虑问题的过程中不必过分拘泥于此，在尚未发现题目中蕴藏的某些规律或还未明确解题方向之前，我们不妨先做出一些猜想，再设法判断所作猜想的正确与否。如果猜想不正确，还可进行新的猜想，这样，可以启迪思维， 帮助我们确定解题的“主攻方向”，关于猜想在解题中的作用，同学们不妨从下面几道题目的分析过程中去细心地体会。

例 1.⊙O 的两弦 AC 与 BD 垂直相交于 P，则不论两弦位置如何，PA2＋PB2

＋PC2＋PD2 为定值。

分析：⊙O 为已知，则其半径 R 为定值。⊙O 中互相垂直的两弦 AC 与 BD 的交点 P 如果在特殊位置圆心上（图 1），则 PA2＋PB2＋PC2＋PD2 显然取定值 4R2，由此不难得到一般情形下的解决办法：过 A 作直径 AM，连结 CM、DM、DA、CB（图 2），并应用勾股定理和平行弦定理，易证 PA2＋PB2＋PC2＋PD2

＝4R2。

在解这类求定值问题时，常常是先考虑特殊情况，猜想特殊情况的结果也就是一般情况的结果，再设法建立两者间的联系。

例 2.如图 3，过直角△ABC 的直角边 AB 的中点 D 作 DE⊥AC 于 E，交 CB 的延长线于 F，

求证：AD2DE·DF＋AE·ECDE·EF＝2.

分析：由于结论中所出现的线段较多，而且它们之间的数量关系不明显， 所以直接证明结论很困难。变换结论的形式行得通吗？显见，不论是去分母还是通分、移项，都无济于事，然而我们知道 2＝1＋1，于是猜想：结论中左边两个式子可能分别都等于 1.（一个突破性的念头！）若是这样，问题就解决了。 不妨试着证明 AD2DE·DF＝1，即证 AD2＝DE·DF，亦即证 ADDE ＝ DFAD，而 AD＝DB，所以只要证明 ADDE＝DFDB，即证△ADE∽△FDB，根据题设条件，很快就能得证；同理亦可证 AE·ECDE·EF＝1.猜想在解题中起了关键作用。

例 3.已知 x＋y＋z≠0，且 xy＋x＝a，yz＋x＝b，zx＋y＝c，求证：a1

＋a＋b1＋b＋c1＋c＝1.

分析：在探索这类题目的解题途径时，同学们大部会注意抓住十分显眼的“大”条件：xy＋x＝a，yz＋x＝b，zx＋y＝c，（一般会将这些式子代入待证式的左边），而往往容易忽视不显眼的“小”条件：x＋y＋z≠0，倘若对这一条件深思一番，可以追究一下为什么要规定 x＋y＋z≠0，由此很自然地会猜想；解题过程中，分母可能出现“x＋y＋z”！怎样才能使分母中出现“x＋y＋z”呢？联想合比定理即有：xx＋y＋z＝a1＋a，同理，yx＋y＋z＝ b1＋b，zx＋y＋z＝c1＋c.到此，证明结论便是轻而易举的事了（这种解法比直接代入法要简捷得多）。

猜想又一次引导我们走向成功之路！

从上面的分析中我们看到，猜想时常常要抓住题目中的“蛛丝马迹”进行“追踪”，“探测”，所以，在解题时同学们要细致观察式子或图形的特点，善于利用题目给定的各种条件，充分展开想象的翅膀，大胆地提出合理的猜想。