顺着尾巴抓住头

左加林

数学学习的目的最终要体现在应用上，落实在解决现实生产、生活的种种问题中.而数学在现实问题中的应用，也不仅仅表现为数学知识的应用.很多情况下，更重要的是数学的思想方法的应用.下面我们将要提出的两个问题，虽不需要怎么高深的数学知识就能解决，但问题并不因此就认为是容易的，若没有掌握正确的数学思想方法，你可能根本无法解决或不能很好地解决.

问题 1.某小贩把他所有的西瓜的一半又半个卖给第一个顾客，把余下的一半又半个卖给第二个顾客，就这样，他把每次所余西瓜的一半又半个卖给以后各个顾客.卖给第七个人以后，他已一个西瓜也没有了.问这小贩原有西瓜多少个？

[ 背景] 这个问题原是数学大师欧拉十分喜欢的“农妇卖鸡蛋”的问题的衍生.“农妇卖鸡蛋”问题是这样的：一农妇去市场卖鸡蛋，第一次卖出全部鸡蛋的一半又半个；第二次又卖出剩下鸡蛋的一半又半个；第三次卖出前两次卖后剩下鸡蛋的一半又半个，最后又卖出所剩下鸡蛋的一半又半个，这时鸡蛋恰好卖完，问农妇原有鸡蛋多少个？

问题一经大数学家提出，便引起了众多数学爱好者的极大兴趣，于是， 许多人也对此探索出了许多解法.但这些解法大多按“从头至尾”的常规思路进行，使过程显得相当烦琐.结果还是欧拉本人一反常规，别出心裁地按“从尾至头”的逆推思路给出了它的一个最简便的解答：

从最后的情形着眼考虑，第三次卖完后所剩（即第四次卖出的鸡蛋只可能为 1 个（一半又半个），第二次卖完后所剩（即第三次卖出的）鸡蛋则应为：（1＋0. 5）个×2＝3 个，第一次卖完后所剩（即第二次卖出的）鸡蛋应为：（3＋0. 5 ）个×2＝7 个，从而可知，农妇原有鸡蛋为：（7＋0. 5） 个×2＝15 个。

解：仿上按欧拉提出的逆推思路，则易得小贩原有西瓜数为 127 个.

显然，若作一般考虑，设这堆西瓜分 n 次卖完，也可按此逆推思路推出每一次卖出后所剩的直至推出原有的西瓜数.而这时用常规的顺推思路求解就相当困难了.

问题 2.设有甲、乙、丙三个小组，现对这三组人员进行了三次调整：第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出 7 人给另一组；第二次乙组不动，

甲、丙两组中的一组调出 7 人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的

一组调出 7 人给另一组，经过这三次调整后，甲、乙、丙三组分别有 5 人、

13 人、6 人，试问各组原有多少人？

分析：本题的进行过程与问题 1 略有相似之处，但因存在的元素分成了三组，情形自然显得更复杂些.而注意到问题的一些关键数据落在“尾巴”上， 即反映第三次调整后，因而其解决的途径仍需“从尾至头”逆推.