第十九课 比和比例（一）

两个数的比实际上就是两个数的商．两个数 a 与 b（b≠0）的比可记为：

a∶b = a （b≠0）

b

因此，除法、分数、比例实质上是一回事． 由 分 数 的 性 质 可 以 知 道 ： a∶b=na∶nb（n≠0）

两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比．如：a∶b∶c（b

≠0，c≠0）

连比也满足比的基本性质，即： a∶b∶c=na∶nb∶nc（n≠0）

有四个数 a，b，c，d，（b≠0，d≠0），满足 a∶b=c∶d，

即： a = c ，称之为比例式，在此式两边同乘以bd，就得到ad = bc．（

b d

称之为等积式）

我们复习一下正比例和反比例．

一、如果两个变数y和x的比值（也就是商）一定，即 y = K（定

x

值），那么称 y 与 x 成正比例关系．

例如：（1）速度一定时，路程与时间成正比例关系：

路程 = 速度（一定）； 时间

1. 商品单价一定时，总价与商品数量成正比例关系：

总价 = 单价（一定）； 商品数量

1. 工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例关系：

工作总量 = 工作效率（一定）． 工作时间

二、如果两个变数 x 和 y 的乘积一定，即 xy=K（定值），那么称 x 与 y 成反比例关系．

例如：（1）路程一定时，速度与时间成反比例关系：速度×时间= 路程（定值）；

1. 长方形面积一定时，长与宽成反比例关系：长×宽=长方形面积；

2. 两个互相咬合的齿轮，齿数与转数成反比例关系．

例 1 某生产队饲养猪、牛、羊共 230 头，其中猪与牛的头数比为 3∶ 2，羊与牛的头数比为 4∶3，求（1）猪与羊的头数比？

（2）猪、牛、羊各多少头？

分析 如果求出猪、牛、羊的头数之比，自然也就求出了猪与羊的头数之比．

由条件可知：猪∶牛=3∶2， 羊∶牛=4∶3，

这两个单比中，牛所占的份数分别为 2 和 3，这两个数的最小公倍数是 6，将这两个比变形为：猪∶牛=9∶6，

羊∶牛=8∶6，

所以：猪∶牛∶羊=9∶6∶8

其中，猪∶羊=9∶8 正是我们所要求的． 现在，由已知，共有 230 头，

可知：猪 = 9

9 + 6 + 8

×230 = 9

23

×230 = 92头，

牛 = 6

9 + 6 + 8

×230 = 6

23

×230 = 60头，

羊 = 8

23

×230 = 80头．

通过这道题，我们要掌握把两个单比转化成连比的方法，即将两个单比中的共同项利用比例性质变成相同的份额，从而把两个单比联系起来．

例 2 现有黑、白棋子若干，其个数之比为 3∶2，后又放入白棋子 6 个，其个数之比变为 5∶4，求原来有多少个黑棋子？

分析 原有黑、白棋子之比为 3∶2，加入 6 个白棋子后变为 5∶4．由于黑棋子个数不变，可将两个比的前项写成一样，就是：

3∶2=15∶10（同乘以 5）

5∶4=15∶12（同乘以 3）

从上式可看出白棋子个数增加了两份，由已知是 6 个棋子，故可求

出每份 3 个棋子．

这样，黑棋个数为：15×3=45（个） 我 们 列 一 下 综 合 算 式 ： 15×[6÷（12-10）]=45（个）

这道例题与例 1 的思想是一样的，先找出两个比例（单比）之间的联系，在本题中，两个单比的前项都表示不变的黑棋个数，故利用比例的基本性质，将前项写成一样，从而分析出白棋子个数的差异与份数的差异．

例 3 某人买甲、乙两种油笔共 100 支，已知甲油笔每支 1.50 元，

乙油笔每支 1.00 元，且甲、乙两种油笔所用的钱数一样多． 求甲、乙两种油笔各买了多少支？

分析 我们前面已经谈到，当某种商品单价一定时，所花的钱的总数与商品的数量成正比；反之，若花钱总数一定，则购物数量与单价成反比．

因为甲、乙两种油笔单价之比为 15∶10=3∶2

而它们所用的钱数一样多，由购物数量与单价成反比可知：甲、乙两种油笔的数量之比为 2∶3．

所以甲油笔有100×

2

2 + 3

= 40（支）

乙油笔有100×

3

2 + 3

= 60（支）

这道例题重点在于抓住“甲、乙两种油笔所用钱数一样多”这句话，

从而分析出反比关系，正确解出本题．

例 4 如图 19—1，甲、乙、丙三个齿轮咬合．当甲轮转 4 圈时，乙

轮恰好转 3 圈；当乙轮转 4 圈时，丙轮恰好转 5 圈．

求这三个齿轮的齿数最少应分别是多少？

分析 为书写简便，我们用甲来表示甲的齿轮齿数，余同． 由已知：甲∶乙=3∶4 乙∶丙=5∶4

注意：齿轮的齿数应与转数成反比．

利用例 1 的方法，我们把这两个单比化成连比的形式，有： 甲∶乙∶丙=15∶20∶16

由于 15，20，16 这 3 个数互质，且齿数需为自然数，所以甲、乙、两三个齿轮的齿数应最少分别为 15，20，16．

我们总结一下，“比和比例”的问题，首先要正确理解其概念，尤其是“正比例”、“反比例”概念，分清题目中所给的是哪种关系．其次，对于出现两个或两个以上的单比，我们要善于找出它们的联系，从而使问题明显化．

下面，我们看两个较复杂的例题．

例 5 商店中有四种不同的商品 A、B、C、D，A 的价钱与 C 的价钱的比为 1∶6；

B 的价钱与 C 的价钱的比为 2∶3；

D 的价钱与 B 的价钱的比为 17∶12；

现各买一件，恰花人民币 100 元．求每种商品的单价．

分析 已知给了四种商品，给了三个价钱比（单比），我们的目的是化成连比，从而求出每个商品的单价．

由三个单比求连比，比之例 1 要复杂，但基本思想是一样的． 为书写简便，我们不妨记 A 的单价为 A，B 的单价为 B，余同．

由 A∶C=1∶6，B∶C=2∶3 这两个单比中，C 是共同项，因此计算 6 与 3 的最小公倍数为 6，所以：A∶C =1∶6

B∶C=2∶3=4∶6

从而有 A∶B∶C=1∶4∶6

又由已知 D∶B=17∶12，B 是共同项，因此计算 4 与 12 的最小公倍数为 12，

所以：A∶B∶C=1∶4∶6=3∶12∶18 D∶B=17∶12

所以：A∶B∶C∶D=3∶12∶18∶17

所以：A = 3

3 + 12 + 18 + 17

×100 = 6（元）

同理，B=24 元，C=36 元，D=34 元．

例 6 一个容器内已注满水，有大、中、小三个球．第一次把小球沉入水中；第二次捞出小球，沉入中球；第三次捞出中球，沉入大球和小球．

1

现已知，第一次溢出水量是第二次的 3 ，第三次是第一次的2.5

倍．

求三个球的体积之比．

分析 我们简记“小”为小球体积（余同）．第一次溢出水量为小球体积；第二次先捞出小球后水面已然不满，再沉入中球，溢出水量不是中球体积，而是中球体积减去小球体积；第三次先捞出中球，再沉入大球和小球，那溢水量为大球体积加小球体积减去中球体积．

因此，我们把已知条件表示如下： 小∶（中-小）=1∶3，

（大+小-中）∶小=2.5∶1，

分析上面这两个比例式．“小”均占一份，故可写成连比的形式： 小∶（中-小）∶（大+小-中）=1∶3∶2.5， “小”占一份，“（中-小）”占 3 份，故此，“中”占 4 份；“（大

+小-中）”共占 2.5 份，故此，“大”占 5.5 份． 所以：小∶中∶大=1∶4∶5.5

=2∶8∶11

注：我们习惯上把比写成最简整数比．