一、基本概念

1. 定义：对于实数 x，[x]表示不大于 x 的最大整数；{x}表示 x 的小数部分．

例如：［3.7］ = 3；{3.7} = 0.7；［2］ = 2；｛2｝ = 0 3 = 3

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1. 性质

（1）对任何实数 x 有：x=[x]＋｛x｝

例如：2.2＝［2．2］＋｛2.2｝＝2＋0.2

（2）当 0≤x＜1 时，有[x]=0，反之，若[x]=0，则有 0≤x＜1．

（3）对任何实数 x，有[x]≤x＜［x］＋1，x-1＜［x］≤x． 例如：［3.8］≤3.8＜［3.8］+1

1. 若［x＋y］=x，则 x 为整数，并且 0≤y＜1．

2. 若 n 为整数，x 为实数，则｛x＋n｝=｛x｝；［x＋n］［x］＋

n．

1. x、y 为任意实数，若{x}＋{y}=1，则 x+y=整数．

2. x、y 为任意实数，若 x=y，则有[x]=[y]；若 x＜y，则[x]≤[y]；

若[x]＜[y]，则 x＜y． 注意：

①由 x＜y 不一定有[x]＜[y]．

例如：4.2＜4.7，但[4.2]=[4.7]=4

②由[x]≤[y]也不能得到 x≤y 的结论，这是因为当[x]=[y]时，x、y 之间的关系有三种可能情况．例如：[4.2]=[4.5]，此时 4.2＜4.5； [4.3]=[4.3]此时 4.3=4.3；[5.2]=[5]，但 5.2＞5．

1. 对 任 意 实 数 x 、 y 有 ：

   [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1，｛x｝+｛y｝≥｛x+y｝．例如：[4.3]+[4.8]＜[4.3+4.8]≤[4.3]+[4.8]+1

｛4.3｝+｛4.8｝＞｛4.3+4.8｝

1. 在自然数列 1，2，3，⋯，n 中，能被自然数 m 整除的数

共有[

n ]个． m

推论1：在自然数列中，被m^p 整除的数共有 n 个．

 mp 

推论 2：n！（读作“n 的阶乘”，n！=1×2×3×⋯×n）中，

质因数m出现的个数（质因数分解式中m的最高次幂指数）等于：

 n  +  n  +  n

，其中m^p ≤n，而m^p+1〉n．

 m

 m2 

 mp 

利用[x]的定义以及以上性质，我们可以解决一些与[x] 有关的问

题．