第十八课 圆柱和圆锥

圆柱和圆锥，是我们日常生活和生产实际中常见的两种物体，很多问题的解决都与圆柱及圆锥的体积和表面积的计算有着密切的关系．

例 1 有甲、乙两只水杯（如图 18—1），问哪一只杯子盛的水多（两只杯子都装满水）？（单位：cm）

分析 要想知道甲、乙两只杯子哪一只盛的水多，我们只需计算一下甲、乙两只杯子的容积各是多少，然后比较一下就可以了．

解 ∵V 甲=π×5²×20=500π（cm³） V 乙=π×10²×10=1000π（cm³）

通过计算可知，乙水杯装的水多．

例 2 两个相同的圆锥容器中各装一些水，使水深都是圆锥高的

1 ．那么，如图18—2，甲，乙两容器中哪一个水多？多的是少的几

3

倍？

分析 只需计算一下两容器中的水的体积．

解 设圆锥底面半径为 r ，高为 h ，则甲容器中水面半径

为 2 r，乙容器中水面半径为 1 r．分别用V 、V

表示两容器

3 3 甲 乙

中水的体积，则：

V = 1 πr ² ·h − 1 π·（ 2 r） ²· 2 h = 19 πr ²·h

^甲 3 3 3 3 81

V = 1 π·（ 1 r） ²· 1 h = 1 πr ²·h

^乙 3 3 3 81

V甲 / V乙

= 19 πr ²h /

81

1 πr ²h = 19

81

所以甲容器中的水多．甲容器中的水是乙容器中的水的 19 倍．

例 3 小明的母亲买了一条项链，你能用一只圆柱形水杯帮助小明的

母亲测定一下项链是不是金的吗？（假如项链重 20 克），请说出测定方法．

答：能测定．

我们可以先将项链放入水杯中放满水，然后取出项链，测一下水杯中水下降的高度，就可以利用圆柱的体积公式计算出项链取出前后水杯中水的体积差值，从而也就可以知道这部分水的重量，用项链的重量去除以水的重量，看一看结果就可以知道金项链是真的还是假的了．

例 4 在一只底面半径为 30 厘米的圆柱形水桶里，有一半径为 10 厘米的圆锥形钢材浸没在水中．当钢材被取出之后，水面下降了 1 厘米．求此钢材的长度．

分析 由于知道圆锥形钢材的半径，故只要能知道其体积，即可求出钢材的长度．而钢材的体积与水桶中水减少的体积是相同的．

解 钢 材 的 体 积 为 ： π×30²×1＝900π（cm³） 钢 材 的 底 面 积 为 ： π×10²＝100π（cm²）

1

所以有： 3 ×100π×h = 900π

h＝27（cm）

即：圆锥形钢材的长度为 27 厘米．

说明：在本题计算的中间步骤中保留了π的原形．这样做既简单又准确：

例 5 一个瓶子里装了多半瓶水（如图 18—3（a））但没有达到上部变窄的部分．你能仅用一把带刻度的尺子测出瓶子的容积吗？怎样测？

（规定不能打开瓶盖）

解答 我们可以量出瓶子的底面直径，计算出底面积 S，量出水面高度 h1，然后将瓶子倒过来，如图（b）测出 h2．sh1 是盛水部分的体积， sh2 是没有盛水部分的体积，所以，瓶子的容积是前面的两部分体积和．即S（h1+h2）．

例 6 一容器的上部是半径为 30 厘米，高为 20 厘米的柱体，下部为锥体，锥体高是柱体的一半（如图 18—4），求此容器的体积．

解 此容器分成柱体、锥体两部分，其体积是两部分的和． 柱体部分的体积为：

π×30²×20=18000π（立方厘米） 锥体部分的体积为：

1 π×30² ×10 = 3000π（立方厘米）

3

所 以 容 器 的 体 积 为 ： 18000π+3000π=21000π≈65973（立方厘米） 答：此容器的体积为 65973 立方厘米．

例 7 用一块长 50 厘米，宽 30 厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再另用一块铁皮做底，怎样做才能使此容器的容积最大？

解答 我们要回答上述问题实际上只需考虑两个方面，即以长方形的长做为柱形容器的高，还是以长方形的宽做为柱形容器的高，比较这两种情况下柱形容器的体积，即可确定方案．

①若以宽为高，则长方形的长即为柱形容器的底面周长，所以底面半径为：

50÷2π=25／π（厘米） 此时容器的体积为：

π×（ 25 ）2×30 = 18750／π（立方厘米） π

②若以长为高，则长方形的宽即为柱形容器的底面周长，所以底面半径为：

30÷2π=15／π（厘米） 此时容器的体积为：

π×（ 15 ） ²×50 = 11250／π（立方厘米） 通过计算，我们可以

π

知道，用长方形较短的一边做高时容器的容积大．

例 8 如图（18—5）是一顶帽子．帽子的顶部是圆柱形，帽沿部分是一个圆环．若帽顶的半径、高与帽沿的宽尺寸相同，问是帽顶部分用料多还是帽沿部分用料多？

解 由于帽顶的半径、高及帽沿的宽尺寸相同，我们不妨设为 a 厘米，比较两部分谁用料多也就是比较一下两部分的表面积．

帽顶部分的表面积为： π·a²+2π·a·a=3πa² 帽沿部分的面积为： π·（2a）²-π·a²=3πa² 可见两部分的面积相同

答：帽顶部分和帽沿部分的用料一样多．

例 9 用直径为 20 厘米的圆钢锻造长 300 厘米、宽 50 厘米、高 5 厘米的长方体钢块，应截取圆钢多长？

解答 所截取的圆钢的体积应等于长方体钢块的体积．设应截取圆钢的长度为 x 厘米，则圆钢的体积可表示为：π·10²·x=100πx（立方厘米）

长方体钢块的体积为： 300×50×5=75000（立方厘米） 所 以 圆 钢 的 长 度 为 ： x=7500O／100π≈23.9（厘米） 答：应截取圆钢 23.9 厘米．

例 10 一个长方体容器内，放有一截圆钢（竖直放置）．现开启水龙头往容器内灌水．3 分钟时，恰好没过圆钢顶部．再过 18 分钟水已灌满容器．已知容器的高为 60 厘米，圆钢高度为 20 厘米，求容器底面积与圆钢底面积之比．

解答 由题意知：若往空容器内灌水，18 分钟水面升高 40 厘米，则水面升高 20 厘米需 9 分钟，而实际上水面升高 20 厘米只用了 3 分钟， 说明容器底面积被圆钢底面盖住了三分之二，所以容器底面积与圆钢底

3

面积之比为 2 ．

例 11 如图 18—6 为一三角形，求以 AB 为轴旋转一周所得纺锤体的体积．

解 图 18—6 的三角形以 AB 为轴旋转后所得到的纺锤体可分成两个锥体，两个锥体的底面半径均为 4，高分别为 10 和 3．所以此纺锤体的体积为：

1 π·4² ×10 + 1 π·4 ² ×3 = 208π ≈217.7

3 3 3

答：所得纺锤体的体积为 217.7．