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移除书签第十七课 圆（二）
我们了解了圆之后，就可以进一步研究一个圆的局部，也就是圆的一部分的特点和性质，如图 17-1，这是圆的一部分，它的形状就象一把打开的扇子，所以我们称它为扇形．
扇形也有弧长、面积两个量，这两个量都与扇形中弧的度数（或者说弧所对应的圆心角的度数，即如图 17-1 中∠AOB 的度数）有关．我
们设扇形的弧是n°，那么扇形弧的长度为： π·n·R ，其中R
180
是扇形的半径．扇形的面积为：
π·n·R2
360
这是因为将圆分成360
等份，每一份都是一个小扇形，如图 17-2，此时小扇形的弧是 1°的弧，
πR2
它的长应该是
πRn
360
（把圆周长分成360等份），那么n°弧就是取n份
πR2
故得 180
．同理，1°弧所对应的小扇形面积应是
nR 2n
360
，那么n°弧
所对应的扇形面积是
积，得到公式：
360
．我们用字母l表示弧长，用S表示面
l扇 =
πRn 180
， S扇 =
πR 2n
360
从以上两个公式我们还可以发现：S扇
1
= 2 Rl扇
现在我们若将图 17-1 中 A、B 两点连一条线段，则把扇形分成了两部分，下面是一个三角形，上面的图形我们称之为弓形．（图 17-3）
弓形是由一条弧和它所对的弦组成．下面三个圆中的阴影部分都是弓形．图 17-4（a），弓形弧小于半圆弧，它的面积 S 弓=扇形 AmBO 的面积减去三角形 ABO 的面积；图 17-4（b）弓形弧等于半圆弧，它的面积为半圆面积；图 17-4（c）弓形弧大于半圆弧，它的面积 S 弓=扇形 AmBO 的面积加三角形 ABO 的面积．
例 1 如图 17-5，∠AOB=45°，求空白部分面积及阴影部分的周长？
分析 空白部分的面积是由两部分组成，半径为 3 的小扇形面积可直接用公式求出．另一部分则要由整个大扇形面积减去半径为 8 的扇形面
积再加半径为
3 的扇形面积得到；阴影部分的周长是由四部分组成，即两条弧和两条线段．
解 由公式S扇 =
πR2 n
360 l扇 =
πRn 180
空白部分面积 =
3.14×45×（2 + 5 + 3） 2
360
− 3.14×45×（3 + 5）2
360
+ 3.14×45×32
360
3.14×45(102 − 82 + 32 )
360
= 17.6625
阴影部分周长 =
3.14×45×3 +
180
3.14×45×(3 + 5) + 2
180
×5 =
3.14×45×(3 + 8)
180
+ 10
= 18.635
例 2 如图 17-6，求阴影部分面积．图中是一个正六边形，面积为1040 平方厘米，空白部分是半径为 10 厘米的小扇形．
分析 要求的阴影部分面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积，正六边形面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，由扇形面积公
πR2 n
式S扇 =
360
可知，需要半径和扇形弧的度数（即扇形弧所对圆心
角的度数）．由已经知道正六边形每边所对圆心角为 60°，那么∠AOC=120
°；又已知四边形 ABCO 是平行四边形（四边都相等）所以∠ABC=120°
（平行四边形对角相等），这样就能求出扇形的面积．
3.14×102 ×120
解 阴影面积 = 1040 - 6×
360
=1040-628=412（平方厘米）
例 3 如图 17-7（a）两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦等于 17 厘米，半径为 10 厘米，求阴影部分面积？
分析 阴影部分是由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了．由已知，若分别连结 AO1，AO2， BO1，BO2，O1O2，如图 17-7（b），我们就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1=∠BO2O1=60°，即∠AO2B=120°，这样就可以求出扇形 AO1B 的面积，然后再减去三角形 AO2B 的面积，就得到弓形面积．三角形 AO2B 的面积就是二分之一底乘高，底就是 AB 弦，高就是 O1O2 的一半．
解 阴影面积 = 2×（S扇形AO B - S△ AO B ）
17× 10
= 2×（
1
3.14×102 ×120 −
360
1
2 ）
2
= 209 3 - 85 = 124 3 （平方厘米）
例 4 如图 17-8（a）⊙O（读作圆 O）的半径是 15 厘米，∠AOB=90
°，∠COD=120°，CD=26 厘米，求阴影面积．
分析
阴影部分是用弓形 CmD 减去小弓形 AmB，弓形 AmB
的面积可由已知条件直接求出．弓形 CmD 的面积要用到三角形 COD
的面积，它的底
边 CD 已知，底边上的高没有直接给出，我们取 的中点 H，连结 HO 与 CD 交于 K 点，如图 17-8（b），则∠COH=∠DOH=60°，所以∠CKO=90
°（因为∠OCK=∠ODK=30°）．若连结 CH、DH，
得到两个等边三角形CHO及DHO，所以HK = KO = 15 ．
2
解弓形AmB的面积 =
3.14×152 ×90
360
− 15×15
2
=176.625-112.5＝64.125
3.14×152 ×120
弓形CmD的面积 = 360
26×7.5
2
=235.5-97.5=138
阴影面积=138-64.125=73.875（平方厘米）
例 5 已知如图 17-9 所示，AB=AC=12 并且小阴影面积为 3.26，求大
阴影（弓形）的面积．（π取 3.14）
分析 要求出弓形面积，只要用半圆的面积减去空白图形 ABD 的面积，而空白图形 ABD 的面积又等于扇形 ABC 的面积减去小阴影部分的面积．
解 扇形 ABC 的面积
π×122 ×30
= = 3.14×12
360
=37.68
空白图形的面积=37.68-3.26=34.42
半圆的面积 = 1 π×（ 12 ） 2 = 56.52
2 2
则弓形面积=56.52-34.42=22.1
即大阴影（弓形）的面积为 22.1 面积单位．
例 6 有两个半圆与两个圆位置如图 17-10 所示．
圆 A 的半径为 3 厘米，⊙ B 的半径为 2 厘米，⊙ O 的直径是⊙A 与⊙B 的直径和，⊙C 的直径是⊙O 的半径，求阴影部分的面积与空白部分的面积比？
分析 空白部分的面积是⊙A 面积的一半加上⊙B 面积的一半加上⊙ C 的面积，而整个大圆面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积，有了这两部分的面积数值，它们的比值也就可以求出来了．计算时数值中可保留π，不必取 3.14 乘出来，因为计算比值时，π可以约掉．
解 空白部分面积S = 1 π×32 + 1 π×22 + π×（ 2×3 + 2×2 ） 2
2 2 2
2
2×3 + 2×2
（ 2 ） 2 = π ×9 + π ×4 + 25 π
2 2 2 4
= π （9 + 4 + 25 ） = π × 51 = 51 π
2 2 2 2 4
阴影部分面积S = π×（ 2×3 + 2×2 ） 2 - S
2 2 1
= 25π - 51 π = 100 − 51 π = 49 π
4 4 4
∴ S2
49 π
= 4 = 49
S1 51 π 51
4
即阴影部分的面积与空白部分的面积比是 49∶51．
例 7 有一个半径为 1 的大圆和一些半径为的小圆，现在要用这些小圆将大圆盖住，至少要用多少个小圆？
分析 要将大圆盖住，首先要将大圆圆周盖住，由大圆半径是小圆半径的 2 倍，即大圆的半径是小圆的直径，故此我们想到正六边形的性质“边长与半径相等”，可用六个小圆盖住大圆圆周．现在还剩下中间部分没有盖住，但中间这个图形的六个顶点恰好在一个直径为 1 的圆周上， 所以再用一个小圆就可以把这个大圆盖住（如图 17-11）．
解 将大圆盖住至少要用七个小圆．
例 8 有一根长 40 厘米的铁丝，使它首尾相接围成一个面．问它围成的正方形面积大，还是围成的圆形面积大？（接头忽略不计）
分析 要想知道哪个图形的面积大，必须求出正方形的面积和圆形面积，求正方形面积必须先要求出正方形的边长，求圆形面积必须先要求出圆的半径．
解 周长为40厘米的正方形一边长为 40 = 10（厘米），其面积
4
S 正方形
= 102 = 100（平方厘米）
圆的周长是 40 厘米，由周长=2πR（R 为圆半径），
40 20
20 2 400 400
得R = = 所以圆的面积为S 周
= πR 2 = π× = =
2π π
≈127（平方厘米）
π π 3.14
所以由以上计算可以看出圆形面积比正方形面积大（同学们可以记住这个结论：周长一定时，圆的面积大于正方形面积）．
