第二十一课 利用面积比解题

前两讲我们复习了比和比例的有关知识，并学习了用比和比例解题的基本方法，这一讲我们来学习如何用面积比解题．

我们非常熟悉三角形的面积公式，并且知道这些面积公式很有用．但是，我们所知道的用途主要是计算面积，学了这一讲，我们会发现利用面积比解题会产生意想不到的效果．但要注意，利用面积比解题，仍需正确分析比例关系，准确利用比例的基本性质！

三角形的面积等于它的底与底边上的高的乘积的一半．设ha 为△ABC 的边 a 上的高，用 S△ABC 表示△ABC 的面积，有

S△ABC

＝ 1 a·ha

2

仔细观察此式不难发现：

1. 当三角形的底边不变，底边上的高发生变化时，三角形的面积与底边上的高成正比．如图 21—1，线段 BC 既是△ABC 的底边，也是△ DBC 的底边，线段 AE 和 DE 分别是△ABC 中 BC 边上的高和△DBC 中 BC 边

上的高，由三角形面积公式，得： S△ABC

S△ABC

1 ·BC·AE

= 2 = AE

1 ·BC·DE DE

2

由此可得：等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．

1. 当三角形的高固定，底边发生变化时，三角形的面积比与它的底边成正比．如图 21—2 线段 PQ 既是△PAB 的高，也是△PCD 的高，由三角形面积公式，得

| S 1 ·AB·PQ

△PAB 2 = AB

S△DBC

1. ·CD·PQ CD

2

由此可得，等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比． 下面我们通过例题介绍利用面积比解决问题的方法．

例 1 如图 21—3，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分为四个部分，△AOB 的面积是 1 平方千米，△BOC 的面积是 2 平方千米，

△COD 的面积是 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

分析 要求人工湖的面积只需用公园的总面积减去公园陆地的总面积即可，这时只需求△AOD 的面积，仔细分析图形发现：△AOB 与△BOC 是有公共高线的两个三角形，△AOD 与△COD 是有公共高线的两个三角形，根据“等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比”，有

S△AOB

= AO ， S△AOD = AO

S△BOC CO S△COD CO

所以， S△AOB

S△BOC

= S△AOD S△COD

根据已知 S△AOB=1，S△BOC=2，S△COD=3，便可求出△AOD 的面积． 解 根据“等高三角形的面积比等于它们的底的比”有

S△AOB

= AO ， S△AOD = AO

S△BOC CO S△COD CO

所以 S△AOB

S△BOC

= S△AOD S△COD

即S△AOD

= S△AOB ·S△COD

S

由已知

△BOC

S△AOB=1，S△BOC=2，S△COD=3

得S = 1×3 = 3

△AOD 2 2

所以 S 人工湖=S 总-S 陆地

=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD-S△陆地

3

= 1 + 2 + 3 +

- 6.92

2

=0.58（km）²

答：人工湖的面积是 0.58 平方千米．

例 2 如图 21—4，△ABC 的面积是 1（cm）²，DC=2BD，AE=3ED，求

△ACE 的面积是多少平方厘米？

分析 由图知△ABD 和△ADC 是共高三角形，△ACE 和△CED 也是共高三角形，根据“等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比”知

S△ABD

= BD = 1 ， S△ACE

= AE = 3 ，

S△ADC

DC 2 S△CED

ED 1

经计算，得

S△ACE = 1

S△ABC 2

问题得以解决．

解 根据“等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比”有

S△ABD

= BD =

BD = 1 ， S△ACE

= AE

= 3ED = 3 ，

S△ADC

所以 S△ADC

DC

= 2 （S

3

2BD

△ABD

2

△ADC

S△CED

） = 2 S

3

ED

△ABC

ED 1

S△ACE

= 3 （S

4

△ACE

• S△CED*

） = 3 S

4

△ADC

所以S

= 3 × 2 S

= 1 S = 1 （cm） ²

△ACE 4 3 △ABC

1. △ABC 2

由此可见，利用“等高（底）的两个三角形的面积比等于它们的底

（高）的比”可以把线段比变成面积比，也可把面积比换成线段比．通过两种几何量的比的转换，来解决问题，它的应用十分广泛．但在应用时，要注意三角形的高可能在三角形之外，也有可能图中没画出来，另外三角形的底并不一定处于水平位置．

利用“等高（底）的两个三角形的面积比等于它们的底的比”可以解决很多问题．但是，当构成比例的两条线段满足下面的条件时：其一， 有一公共端点；其二，两线段共线；我们有更好的解决问题的办法．下面把它介绍给大家——比例定理．

若线段 PQ 与线段 AB 相交于 M，则

S△PAB S△QAB

= PM QM

其中，线段 AB 与线段 PQ 相交有如下四种情况：

1. 线段 PQ 与线段 AB 相交于 M，如图 21—5

2. 线段 PQ 与线段 AB 的延长线相交于 M，如图 21—6

3. 线段 PQ 的延长线与线段 AB 相交于 M，如图 21—7

4. 线段 PQ 的延长线与线段 AB 的延长线相交于 M，如图 21—8

   这个定理看似十分容易，但并非一目了然的，需要经过细细体会其

中的奥妙，方可运用自如．下面举例说明这个定理的应用．

例 3 在△ABC 内，任取一点 P，直线 AP、BP、CP 分别与 BC、CA、AB 交于 D、E、F（图 21—9）

计算 PD + PE + PF 的值

AD BE CF

分析 需要计算三组线段比的和，其中每组比中的两条线段都满足比例定理的条件：有公共端点且两线段共线．由此我们考虑利用比例定理， 把线段间的比用面积比代替．线段 BC 与线段 AP 的延长线交于 D，于是

以DC为公共边的两个三角形的面积比， S△PBC = PD

S△ABC AD

同理可得

S△PAC = PE ， S△PAB = PD

S△BAC BE S△CAB CF

到此，我们已经把线段的比转化成了面积比．利用面积之间的关系， 很容易计算出要求的值．

解 由比例定理得

PD = S△PBC

， PE = S△PAC ， PE

= S△PAB

AD S△ABC

BE S△BAC

CF S△CAB

三式相加得

PD + PE + PF

S + S + S

= △PBC △PAC △PAB

AD BE CF

S△ABC

= S△ABC = 1

S△ABC

答 ： PD + PE + PF = 1

AD BE CF

例4 在例3相同的条件下，求 AF · BD · CE 的值

BF CD AE

分析 求线段的比的乘积，由于构成每组比的两条线段均满足比例定理的条件：有公共端点且两线段共线．考虑利用比例定理，用面积比代替线段的比，再利用面积间的关系，解决问题．

解 由比例定理，有

AE = S△PAC ， BD = S△PAB ， CE = S△PBC

BF S△PBC CD S△PAC AE S△PAB

三式相乘得

AE · BD · CE

= S△PAC · S△PAB · S△PBC = 1

BF CD

AE S△PBC

S△PAC

S△PAB

所以 AF · BD · CE = 1

BF CD AE

通过上述的解题过程，我们得到：有一公共端点且在同一直线上的两条线段的比，等于以过公共端点的线段为公共边，另两端点为顶点的两个三角形的面积比．或者说：有公共边的两个三角形的面积比，等于连接两三角形公共边外第三顶点的线段被公共边所在直线分割而得的两线段比．（这里的分割，包括内分割和外分割）

利用面积比解题这一方法用途很广，它可以把面积比化为线段比， 把线段比化为面积比，我们主要介绍了用它解题的三种技巧：

1. 把一块面积分成几块，利用“等高（底）的两三角形面积比等于它们的底（高）的比”，求解某条线段的长度或某个三角形的面积．见例 1，例 2．

2. 把一块面积分成几块，利用比例定理求几个线段比之和．见例

3．

1. 考虑两两共边的几个三角形的循环比，利用比例定理求几个线

段比之积．见例 4．

所举例题充分体现了利用面积比解题的思想，所用的方法应很好领会．