第十六课 圆（一）

圆是一种平面图形，在日常生活中到处可见．如：圆桌、圆凳、盛菜的圆盘、车辆的轱辘，以及游戏用的棋子、飞盘、呼啦圈等．由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其他形状所不能代替的．车轱辘就是一个很好的例子．

圆的形成是：当线段 OA 的端点 O 固定不动，然后线段 OA 绕 O 运动一周，另一端点 A 所经过的封闭曲线就是圆．固定点 O 叫做这个圆的圆心；线段 OA 的长叫做这个圆的半径．通常圆心用字母 O 表示，半径用字母 R 或 r 表示．此外我们把通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直径，直径通常用字母 d 表示．而圆上的任意两点连结的线段叫做弦，显然最长的弦就是圆的直径．

圆还具有两种对称性：（1）圆的点对称性（或叫做中心对称性）， 即圆周上任意一点，关于圆心都有一个对称点，所谓对称点就是这两个点到圆心的距离相等，并且这两个点都在过圆心的直线上．图 16-1 中点A 与点 B；点 C 与点 D 都是这样的对称点．

当把一个圆沿着任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就能够完全重合．这就是圆的特性（2）圆的轴对称性（即若一个图形沿某一条直线对折直线两边的部分能够完全重合，则这个图形称为关于这条直线的轴对称图形），圆的每一条直径都是它的对称轴．

有了圆的概念，自然就会想到圆周长和圆所围成的面积．我们作一个半径为 r 的圆，然后用一根绳子绕圆一周，发现绳子的长是圆半径的六倍多，也就是直径的三倍多．如果我们将半径换成具体数字，也相应量绳子的具体长度，我们就会算出圆周长与圆直径的比值（圆直径除圆周长）是一个无限不循环小数 3.1415926⋯⋯这就是“圆周率”，即圆的周长等于圆的直径与圆周率的乘积．如果用字母 C 表示圆周长，字母π 表示圆周率，那么有：

C=πd 或 C=2πr

这就是圆的周长公式．下面再看看圆的面积．在圆内作圆内接正多边形（即顶点在圆周上，各边长相等的多边形），如图 16-2 所示，圆内接正多边形的面积小于圆面积，但当正多边形的边数增加时，正多边形的面积就越来越接近圆的面积．这个圆内接正多边形的面积是由若干个小三角形的面积相加得到的，这在图 16-2 上看得很清楚．换句话说，圆内接正多边形的周长（各边长之和）当边数增加时，它就越来越近圆的周长，所以我们可以利用这个重要的特点来求得圆的面积．三角形的面

积应该是底乘高的一半，若把组成圆内接正多边形的所有三角形的面积相加就得到了圆面积的近似值．如图 16-3，a 表示三角形的高，l

表示正多边形的边长之和，即正多边形周长，那么这些三角形的面积之和，即正多边形的面积就等于：S 正=al，其中 S 正代表正多边形面积，由于当正多边形边数很多时，l 近似于圆周长 2πr，a 近似于圆半径 r，所以 S 正就相似等于圆面积 S；要得 S 的精确值，只需将 l 换成 2πr，a 换成 r 即可，如此得到圆面积公式：

S＝r·2πr=πr²

即，圆面积等于半径的平方与圆周率的乘积． 下面我们来看几道例题．

例 1 一个圆把平面分成两部分，两个圆最多可以把平面分成四部分，如图 16-4 所示，字母 A，B，C，D 分别表示四个部分．问四个圆最多把平面分成几部分？

分析 我们知道了两个圆至多将平面分成四部分，这是由于两个圆相交后形成的，若两个圆不相交，则只能将平面分成三部分．仿此作法， 我们将四个圆都相交，即可得到所求结果．

解 将四个圆相交，如图 16-5 所示，则可知四个圆最多可以将平面分成十四部分．

例 2 一只小狗遇到了一只豹子，撒腿就跑，豹子紧紧追赶，眼看要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形池塘的旁边，连忙跳进水里， 豹子扑了个空，豹子并不甘心，它紧紧地盯着小狗，在池边跟着小狗跑动，准备在小狗游上岸时抓住它．豹子的奔跑速度是小狗游水速度的 2.5 倍，问小狗有没有办法在它游上岸时，不被豹子抓住．

分析 很显然，如果小狗沿着池塘游，伺机上岸，那么不管它游到哪， 豹子都会跟到哪，这样，小狗一上岸就会被豹子抓住．如果小狗跳下水后沿池塘直径游，等它游到岸边时，豹子也早已在那等候了．这是因为， 虽然小狗游的是直线，豹子跑的是曲线，即小狗是顺着直径游，豹子是沿着半圆周跑．但由于半圆周只是直径的倍（约为 1.57 倍），而豹子的

速度却是小狗游水速度的 2.5 倍，小狗还是逃不掉．

解 小狗要脱离险境就必须利用豹子只能沿池塘边跑的特点，拉大自己的路程与豹子的路程的差距，小狗跳下池塘后先游到池塘的中心，看准豹子此时所在的位置，然后朝相反方向游，如图 16-6，A 是小狗下水的位置，B 是豹子的位置，C 是小狗将要上岸的位置．这样就在小狗游 OC

的距离（即半径长）而豹子却要跑半个圆周，这是半径的π倍（约 3.14

倍）．尽管豹子的速度是小狗游水速度的 2.5 倍也晚了．

例 3 如图 16-7，三角形 ABC 是直角三角形，AB 是圆的直径，并且AB=20 厘米．如图阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大 7 平方厘米，求出 BC 的长度．（π取 3.14）

分析 依题意“阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大 7 平方厘米”，那么半个圆的面积就比三角形 ABC 的面积大 7 平方厘米（这是因为Ⅰ、Ⅱ加上一个相同的部分，就成了一个半圆和一个三角形，差不变）．

解 三角形的面积 = 1 ×AB×BC = 1 ×20×BC

2 2

=10×BC

=半圆面积-7

= 1 ×π×（ 20 ） ² - 7 = 157 - 7

2 2

=150（平方厘米）

所以 BC=150÷10=15（厘米）

例 4 如图 16-8，三角形 ABC 为等腰直角三角形，D 是AB 的中点，AB=20厘米，圆弧 GD、HD 是分别以 A、B 为圆心所作，求图中阴影部分的面积．（π取 3.14）

分析 从图上看要求得阴影部分的面积，就要用四分之一圆面积减去它所包含的小三角形面积，然而要求出小三角形的面积仅用同学们现有的知识是做不到的．而是要根据圆的特性，利用图形的旋转变换将图 16-8 变成图 16-9 的样子（即沿 CD 裁开，以 D 为轴旋转，使 AD 边与 BD 边重合），此时阴影面积就等于半圆面积减去所含三角形 AEF 的面积．

解 三角形 ABC 是等腰直角三角形，所以∠CAD=∠CBD=45°，则∠

EAF=∠CAD＋∠CBD=90°，三角形 EAF 是直角

三角形且AE = AF = 圆半径 = 10厘米，即三角形EAF的面积 = 1 ×10×

2

10=50（平方厘米）则

阴影面积 = 1 ×π×10² - 50

2

= 1 ×3.14×10² - 50 = 107（平方厘米）

2

例5如图16 - 10，有一个直径为 20 厘米的圆，在圆直径上有一条π

曲线，它是由五个半圆弧构成，五个半圆的圆心都在圆直径 AB 上，求这条曲线长．

分析 要求的曲线长，实际上就是五个小半圆弧长之和，即要求出每个小半圆弧长．这从题目所给的已知条件上看，是不大可能的，所以我们还要用圆本身的特点．

解 由题意，五个半圆的圆心都在大圆的长径上，即五个半圆的直径与大圆直径在同一条直线上，并且五个半圆直径之和等于大圆的直径．

设 a，b，c，d，e 分别为五个半圆的直径，则 a＋b＋c＋d

＋e = 20 （cm）

π

由圆周长公式 c=πd

则半圆周长为 πd

2

曲线弧长 = πa + πb + πc + πd + πe

2 2 2 2 2

= π （a＋b＋c＋d＋e）

2

= π × 20 = 10（cm）

2 π

例 6 如图 16-11 甲圆和乙圆的面积之和是丙圆面积的五分之三，甲圆内阴影部分面积占甲圆面积的三分之一，乙圆阴影部分的面积占乙圆面积的二分之一，丙圆内阴影 P 分面积占丙圆面积的四分之一，那么甲乙两圆面积之比是多少？

分析 从题目所给的条件，无法直接求出甲和乙两个圆的面积值，而题目所求的是它们的面积的比值，所以只需要找出甲乙两圆存在的关

系，再从中找出它们的比值．我们注意到甲、乙两圆的阴影面积之和为丙圆的阴影面积，所以应用等量关系：

1 1 1

3 （甲圆面积）＋ 2 （乙圆面积） = 4 （丙圆面积）

解 设甲、乙、丙三个圆的面积分别为 a、b、c，则由已知条件有：

a＋ 3 与

b = 5 c

1 a + 1 b = 1 c

3 2 4

5 5 5

在第一个等式两边同乘以 3 ，得到 3 a + 3 b = c；在第二个等式两边

同乘以4，得到 4 a + 2b = c

3

即 5 a + 5 b = 4 a + 2b

3 3 3

于是得（ 5 − 4 ）a = （2 − 5 ）b 即a = b

3 3 3

所以，甲圆与乙圆的面积之比为 1∶1．