第二十课 比和比例（二）

上一课，我们复习了比和比例的概念和基本性质，并通过例题学习了用比和比例的有关知识去解题的基本方法．

这一讲，我们学习一下如何利用比和比例的知识解决某些特殊的应用题，例如浓度问题、行程问题．我们仍要注意的是寻找题目中的比例关系，如行程问题中，若时间一定，则路程与速度成正比；若路程一定， 则速度与时间成反比．只有找好比例关系，才能正确列出比例式，从而利用比例的基本性质并抓住比例之间的联系通过细致的分析解决问题．

下面，我们具体的看一些例子．

例 1 如图 20—1，甲、乙二人绕一个长方形操场跑步锻炼．该操场长 160 米，宽 120 米．甲从 A，乙从B 相向而跑，结果第一次在 E 处相见， E 离 A 处有 60 米，然后继续跑．问甲、乙二人能否在 E 处再次相遇？若相遇，这是甲、乙的第几次相遇？

分析 由图可知，BE=100 米，这意味着乙的速度比甲快，甲、乙速度之比为 3∶5．

如果再次在 E 处相遇，此时甲、乙都跑了整数圈．由于时间相同， 路程与速度成正比．于是甲跑 3 圈，乙跑 5 圈，甲、乙恰好在 E 点再次相遇．

因为甲、乙相遇一次，就是合起来跑了一圈，因为甲、乙共跑了 3+5=8 圈，所以从 E 点出发后甲、乙两人共遇见了 8 次．这说明最后在 E 点相遇是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在 E 点相遇）．

这道题我们要抓住时间相同，确定路程与速度成正比关系．利用这个关系，本题迎刃可解．

例 2 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比为 3∶1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是 4∶1，若把两瓶酒精溶液倒入一个盆中混合，问混合液中酒精与水的体积之比为多少？

分析 已知两个瓶中酒精与水的体积比分别为：3∶1，4∶1， 而所求为混合后的酒精和水之比．

表面上看，已知两个比的前项所表示的酒精体积不同，后项所表示的水体积也不同，这两个比没有联系．

但是，我们看已知条件“两个相同的瓶子”，知酒精与水的体积和是一定的，这样，我们把已知酒精和水的比转化成酒精和酒精+水的比．于是：第一个瓶中的酒精和酒精+水的比为 3∶4，第二个瓶中的酒精

和酒精+水的比为 4∶5．

将这两个单比改写成 15∶20，16∶20．

将 1 个瓶子的容积看作 20 份，那么 2 个瓶子的容积为 40 份，两个

瓶子中的酒精一共占了 15+16=31 份．两个瓶子中的水一共占了 40-31=9 份．所以混合液中酒精与水的体积比为 31∶9．

这道题我们要抓住已知“两个相同的瓶子”，从而把两个单比一个

个联系起来．

例 3 如图 20—2，ABCD 是一个梯形，E 是 AD 的中点，直线 CE 把梯形分成甲、乙两部分，其面积比是 10∶7．

求上底 AB 与下底 CD 的长度之比．

分析 因为 E 是中点，三角形 CDE 与三角形 CEA 面积相等．三角形ADC 与三角形 ABC 高相等，它们的底边 AB∶CD=三角形 ABC 的面积∶三角形 ADC 的面积

=（10-7）∶（7×2）

=3∶14

这道题我们利用了等高的三角形，面积与底边长成正比这样一个比例关系，有关这方面的内容我们将在下一讲详细论述．本题正是抓住这样一个比例关系很简捷地求出答案的．

例 4 3 个苹果的价钱与 4 个梨的价钱一样，5 个梨的价钱与 6 个柿子的价钱一样．现在买了 3 个苹果，4 个柿子，6 个梨，共花了 8 元．问苹果、梨、柿子的单价各是多少？

分析 我们把苹果的单价简记为苹果，其它类似． 由已知，苹果∶梨=4∶3 梨∶柿子=6∶5

由上一讲的例 1 所示方法，有：苹果∶梨∶柿子=8∶6∶5 那么：3 个苹果∶6 个梨∶4 个柿子

=（3×8）∶（6×6）∶（4×5）

=24∶36∶20

=6∶9∶5 又由已知共花去 8 元，

所以3个苹果花去

6

6 + 9 + 5

×8 = 2.4元

6个梨花去

9

6 + 9 + 5

×8 = 3.6元

4个柿子花去

5

6 + 9 + 5

×8 = 2.0元

所以，苹果的单价=2.4÷3=0.8 元梨的单价=3.6÷6=0.6 元

柿子的单价=2.0÷4=0.5 元

如上所述，我们用比例的方法求出了问题的解，下面我们用另一种比例的方法求解．

设每个梨的价格为 1，则每个苹果价格为

4 5

1. ，每个柿的价格为 6 ，

于是有：

4 ×3 + 1×6 + 5 ×4 = 40

3 6 3

也就是说， 40 个梨的价钱是8元，每个梨的价钱是：8÷ 40 = 0.6

3 3

元

苹果与柿子的单价分别是：

0.6× 4 = 0.8 元

3

0.6× 5 = 0.5元

6

无论是哪一种方法，我们都紧紧抓住苹果、梨、柿子之间的单价的比例关系，从而使问题获得解决．

例 5 甲齿轮有 60 齿，乙齿轮有 36 齿，为了使甲齿轮转动 15 圈带

动乙齿轮转动 8 圈，需在甲、乙齿轮之间连接一个齿轮丙．齿轮丙是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮（丙轮上大、小两个齿轮转动的圈数始终相同）．丙轮上大齿轮与甲轮咬合，小齿轮与乙轮咬合．求丙轮上大、小齿轮齿数比是多少？齿数最少应分别是多少齿（如图 20— 3）？

分析 我们记丙轮上大齿轮的齿数为丙大，丙轮上小齿轮的齿数为丙小，甲轮转动 15 圈带动丙轮转动圈数为丙圈．

根据齿数与转数成反比例的关系，有15∶丙圈=丙大∶60

丙圈∶8=36∶丙小

这两个比例的联系在于丙圈相同，即已知条件“丙轮上大、小两个齿轮转动的圈数始终相同”．故此利用比例的基本性质将上述比例式变形为：15∶丙圈=丙大∶60=3 丙大∶180

丙圈∶8=36∶丙小=180∶5 丙小化成连比，有：

15∶丙圈∶8=3 丙大∶180∶5 丙小

所以有：

15∶8=3 丙大∶5 丙小即：75 丙小=24 丙大

丙 大 = 75 = 25

丙小 24 8

所以丙轮上大、小齿轮的齿数比为 25∶8，齿数最少分别是 25 和 8．