练习题二十六

  1. 四种颜色．

  2. 解：不能将图 A 变为图

    B．由于在一个程序中是将一行或一列中的各格全部变色，因此在一个程序中不会改变这一行或一列中黑白格的奇偶性．考虑图 A 与图 B 中左下角 2×2 方格．由于图 A 中左下角的 2×2 方格中黑、白格的数目都是偶数，因此无论经过多少个程序，变化后图形的左下角 2×2 方格中黑、白格的数目仍都是偶数．但图 B 中的左下角中是三个白格一个黑格，与要求矛盾．所以不能将图 A 变为图 B．

  3. 对 7×7 格棋盘进行黑白相间染色（同国际象棋盘的着色法）．由

于共 49 格，不妨设有白格 24 个，黑格 25 个．由国际象棋中马跳的规则，

马每跳一步必变更一种色格．那么位于黑格上的 25 个马应同时跳入 25

个白格中，而白格只有 24 个，所以不可能 49 个马同时各走一步．

  1. 如图 26—13 那样染色．
1 2

3

 4 1 2

3

4
2 3 4 1 2 3

4

1
3 4 1 2 3 4

1

2
4 1 2 3 4 1

2

3
1 2 3 4 1 2

3

4
2 3 4 1 2 3

4

1
3 4 1 2 3 4

1

2
4 1 2 3 4 1

2

3

图 26—13

1 个 4×1 矩形块恰盖住四种颜色的方格各一个，而 1 个 2×2 矩形块

总不能盖住四种颜色的方格各一个．因此，这 16 个矩形块盖住的 4 种颜

色的方格数目不同．而图中四种颜色的方格数各 16 个，矛盾．故不存在这种覆盖．

  1. 提示：将每个小正方体分别染成黑色或白色，且使相邻的两个小正方体染成不同的颜色．不妨设中心为白色，则白色小正方体有

    13 个，

黑色小正方体有 14 个．考虑到甲虫每次要爬到不同色的小正方体中，从而可得出它不能无重复地爬遍所有小正方体．