第二十四课 最大与最小（一）

在社会实践中，经常会遇到最大与最小的问题，它往往关系到最佳策略的制定．下面介绍几种用数学方法求最大、最小值问题．

例1 从 ÷ 1234567891011 100中划去100个数字，其它数字顺序不

变，求剩下数中最大数．

解 解决复杂问题，可以从简单问题入手，得出规律．从

12345678910中划去8个数字剩下的三位数中，百位数字越大则数越

大，因而 910 是最大的数，也就是在高位上尽量剩下大数字．本题中从

12345678910 中划去 10 个数字剩下 9；从 111213⋯484950 中划去 76 个

数剩下 4 个 9；从 51525354555657585960 中划去 14 个数剩下最大的

数只能是785960．从而得到本题的解为9999978596061 99100．

例 2 试求和为 10，乘积最大的两个自然数

解（枚举法） 1+9=10→1×9=9

2+8=10→2×8=16

3+7=10→3×7=21

4+6=10→4×6=24

5+5=10→5×5=25

答：这两个数都是 5 时，积最大．一般地有以

k 2

下结论 若a + b = K（定值），则ab≤ 4 ，当且仅当a = b时等号成立．

例 3 试求乘积为 64，和为最小的两个自然数．

解 （枚举法） 1×64=64→1+64=65

2×32=64→2+32=34

4×16=64→4+16=20

8×8=64→8+8=16

答：这两个数都是 8 时和最小．

一般地有以下结论 若 ab=K²（定值）则 a+b≥2K，当且仅当 a=b 时等号成立．

例 4 把 19 分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？ 分析 （找规律）

2=1+1，最大积为 1×1=1

3=1+2，最大积为 2×1=2

4=2+2，最大积为 2×2=4

5=2+3，最大积为 2×3=6

6=3+3，最大积为 3×3=9

7=2+2+3，最大积为 2×2×3=12

8=3+3+2，最大积为 2×3×3=18

如此不难发现把自然数 n 分成若干个数的和．当 n=3m 时最大积为3^m；当 n=3m+1 时，最大积为 3^m-1·2²；当 n=3m+2 时，最大积为 3^m·2．

解 由于 17=3×5+2，将 17 分成：

17=3+3+3+3+3+2，积最大值为 3⁵×2=486

例 5 如图 24—1 在公路 AE 两旁有五个村庄（假设村庄的人数近似相同），现要在公路上设一个公共汽车站，问设在哪点最合理？

分析与解 所谓合理是使所有乘车人到车站所走路程的总公里数最小．首先，无论车站设在公路哪一点，人们从村庄到公路的小路必然要走，于是问题就简化为人们从公路上 A、B、C、D、E 到车站所走路程总和最小．下面从简单问题找规律：假设只有一个村庄 F，显然车站应设在A 点，人们在公路上走的距离总和为最小值 0；若只有 F、G 两村庄，车站应设在路线 AB 之间，人们在公路上走的路程最少，相当于一个村的人走完路线 AB；利用上述实验可知，若只有三个村庄 F、G、H，车站应设在中间村路口 B 点，若只有 F、G、H、D 四个村庄，车站应设在中间两村村口 BC 之间，也不难得出五个村庄时车站应设在中间村路口 C 点．

一般地有下列结论 当村庄数为奇数时，车站设在中间村路口，而当村庄数为偶数时，车站应设在中间两村公路口之间．

例 6 如图 24—2 用长为 30 米的篱笆围成一个长方形鸡厂，长和宽各是多少时鸡厂面积最大？最大面积是多少？

分析与解 设长方形长宽分

别为 a，b．问题就转化为 a+b=15，求 a×b 的最大值，由 24—

例2结论知当a = b = 15

2

= 7.5时，a×b有最大值

15²

2

= 56.25（米²）

答：当长和宽都是 7.5 米时，鸡厂面积最大，最大面积为 56.25 平方米．

例 7 如图 24—3，用 30 米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形鸡厂， 长方形的长和宽各为多少时，鸡厂面积最大？最大面积是多少？

分析与解 本题与例 6 相比是靠墙部分没有篱笆，不能直接用 24—

例 2 结论．由于当这个长方形面积最大时，两个同样长方形面积之和也最大．将长方形鸡厂关于墙对称变到墙的另一侧，构成一个大长方形．于是问题就转化为用 60 米篱笆围成一个长方形，当长和宽分别为多少时，

面积最大？最大面积是多少？同例 6 方法可知，当大长方形长宽都为 15 时面积最大，最大面积为 15²=225．由大长方形的构造可知，本题解为当

长方形长为 15 宽为 7.5 时，面积最大，最大面积为 112.5 平方米．

例 8 （91 年初赛）

将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 分别填入图 24—4 的九个圆圈中， 使其中一条边上的四个数之和与另一条边上的四个数之和的比值最大， 那么这个比值是 ．

分析与解 由于分子大且分母小才能使比值大，因而尽可能把较大数填在一边，较小数填入另一边．把 9、8、7 填入右边上，将 1，2，3 填入下面这条边上．以下问题是公共圆圈内填 4、5、6 中的哪一个使比值最大？用枚举法

比较：

9 + 8 + 7 + 6 = 30 = 2.5

1 + 2 + 3 + 6 12

9 + 8 + 7 + 5 = 29 = 2.64

1 + 2 + 3 + 5 11

9 + 8 + 7 + 4 = 28 = 2.8

1 + 2 + 3 + 4 10

可知，公共圆圈中填 4 时比值为 2.8 最大．

例 9 如图 24—5 在一条公路上每隔 1000 米设有一个仓库，其中一

号库存货 1.0 吨，二号库存货 30 吨，三号库空着，四号库存货 20 吨，

五号库存货 40 吨，现将货物集中在某一个仓库，若每吨货运 1 千米需 0.8 元，问运到哪个库存放最省钱？最少需多少钱？

解 （枚举法）比较

运往一号库须 0.8（30+20×3+40×4）=200（元） 运往二号库须 0.8（10+20×2+40×3）=136（元）

运往三号库须 0.8（10×2+30+20+40×2）=120（元） 运往四号库须 0.8（10×3+30×2+40）=104（元） 运往五号库须 0.8（10×4+30×3+20）=120（元）

可知运往四号库存放最省钱，最少需 120 元．

在解决有限问题而问题又较简单如例 2、例 3、例 5、例 8、例 9 可采用枚举比较大小的方法．虽然是有限问题，但枚举范围较大如例 1、例4，可从最简单情况入手，观察，归纳，发现规律，以达到解决问题的目的．