第九课 估值

数学计算要求求出准确值，但在社会实践中，经常遇到的问题往往只要求近似值或估计值，比如：密云水库中有多少立方米的水？由于条件的限制， 不可能计算出准确值，估值与实际相差几百立方米都是可能的．又如某星球到地球的距离是 8 光年，光年（就是光走一年的距离）是很大的单位，而 8 这个估值与实际值相差之大是令人吃惊的．又如我们手表显示的时间，从某同学的外表估计该同学的年龄，我们的出生时间等等，都是近似值．

据九章算术记载，我国古代数学家刘微用正多边形的面积近似圆的面积，从而计算出π的近似值为 3.1416．可见估算是一种非常重要的数学计算方法．

例 1 某班前 10 名同学的数学成绩如下：98、100、93、92、97、100、96、90、95、94，求他们的平均分数．

解法 1 平均分为

1 （98＋100＋93＋92＋97＋100＋96＋90＋95＋94）

10

＝95.5

解法 2 估算出平均分为 95（也可为 96、94 等）

则平均分= 1 (3 + 5 − 2 − 3 + 2 + 5 + 1 − 5 + 0 − 1) +

10

95＝

5 ＋95 = 95.5

10

估值越准确，计算量就越小，例 2 的计算可用口算进行．

例 2 张顺估计孙燕的身高为 162cm，但孙燕说“不对！但只差 0.5cm”．孙燕的身高是多少厘米？

解 由孙燕回答可知其身高为 162.5cm 或 161.5 厘米．

例 3 张经理走往机场的途中从路标处得知还有 141.365 公里的路程，距

飞机起飞时间还有 1 小时 52 分，而他的车最快速度为 70 公里/小时，问他是否有必要赶往机场？

分析与解 这是一个决策问题，关键是能否利用比 1 小时 52 分少的

时间到达机场．由于此时他到机场所需最少时间t = 141.365 ＞2（小时）

70

故他已赶不上这一航班，没必要赶往机场．

例 4 小白兔一次可跳跃 3 米，一条水沟宽恰好等于半径为 0.5 米的圆的周长，问小白兔能跳过去吗？

分析与解 估算出河宽=π＞3（米） 故小白兔跳不过去．

1

例5 求

1

100

+ 1 +Λ +

101

1

109

的整数部分

分析与解（采用放缩法）由于分子相同时，分母越大则分数值越小，分母越小分数值越大进行估值．设这个数为 x，由于

+Λ + +Λ +



100

101

109

109

109

109

109

有 10＜x＜10.9 故[x]=10

答：这个数的整数部分为 10．

例 6 某学生计算出 9 个整数的平均值为 14.21，老师告诉他最后一位计算错了，那么正确答案是多少？分析与解答 由于只有最后一位错了，就给出了这个平均值的范围是在 14.20 与 14.29 之间，继而知道了这 9 个整数和的范围，最后估算出准确值．

解 设正确答案为 x，则14.20≤x≤14.29 于是

127.80≤9x≤128.71

由于 9x 是 9 个整数之和故为整数，于是

9x = 128

解得x = 128 = 14.22

9

答：正确答案应为 14.22．

例 7 在自然数 25 与 193 之间，是 11 倍数的数有多少个？

解 [ 25] = 2（个） 11

193 = 17（个）

11

故 17-2=15（个）

答：是 11 倍数的自然数有 15 个．

例 8 一个两位数与一个三位数的积最少是几位数？最多是几位数？

解 设两位数为 x，三位数为 y，则10≤x＜100，100≤y＜1000

故 1000≤xy＜100000

即最少为 4 位数，最大为 5 位数．

例 8 若四个连续奇数的积为 9009，求它们中的最大数

分析与解 四个数之积为 9009 是四位数，可估算出四个数不可能都是两位数，若都是两位数则积≥10×10×10×10=10000，故至少有一个是小于 10 的整数，由于 9009 是积数，且四个数都是奇数，考察 1、3、5、7、9、11、13、15 中连续四个数的积，由于 9009 末位为 9，因而不可能有 5，用枚举法可知 7、9、11、13 合题意，故最大数为 13．

例 9 一本书的页码是连续的自然数 1、2、3、4⋯，当把这些页码加起来时，某页被加了 3 次，得到不正确的结果 1995，求出加 3 次的是哪个页码？

解 设正确结果为 x，本书共有 n 页

则x = 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)

2

由于错加页在 1 和 n 之间即最小为 1，最大为 n，则有

n( n + 1) + 2≤1995≤ n(n + 1) + 2n

2 2

n = 60时

n = 61时

n(n + 1) + 2n = 1950＜1995（舍） 2

n(n + 1) + 2n = 2013＞1995 2

n( n + 1) = 2 = 1891＜1995 2

合题意

n = 62时 n(n + 1) + 2 = 2077＞1995

2

∴这本书共有 61 页

61(61 + 1)

不合题意

∴x =

页．

2 = 1891，1995 - 1891 = 104 答：这本书错加的页数为 52

例 10 某宾馆客房一层比二层少 5 间，某旅游团 48 人到该宾馆住宿，若

全部安排在一层，每间 4 人则房间不够用，每间住 5 人则房间住不满；若全安排在二层，三人一间房不够用，4 人一间房住不满．问一层有房多少间．

解 设一层有客房 x 间，二层有客房 y 间，由已知有

48 ＜x＜ 48

5 4

48 ＜y＜ 48

4 3

即 9.6＜x＜12，12＜y＜16 由于 x、y 都是整数

x=10 或 11

y=13 或 14 或 15

又由于一层比二层少 5 间客房，知x=10，y=15

答 该宾馆一层有 10 间客房．

例 11 若一个数的 6 次方为 11390625，试求这个数．

解 设这个数为 x，由题意有 x⁶=11390625 是一个 8 位数． 由于 10⁶=1000000、20⁶=64000000

故 10⁶＜x⁶＜20⁶

即 x 是 2 位数且十位数字为 1

又由于 x⁶ 的末位数字为 5 故 5 是 x⁶ 的因数进而得到 x 是 5 的倍数．在11、12、13、14、15、16、17、18、19 这 9 个两位数中，只有 15 是 5 的倍数故 x=15．