第二十二课 包含与排除

小明与小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用．在登记住房面积时，两家登记表如下图

他们住的一套房子共有多少平方米？

分析与解 如图 22—1，小圆表示小明家面积，大圆表示小龙家面积，阴影部分则表示小明家与小龙家公共面积，如果我们把小明家面积38m2 与小龙家面积相加，阴影部分事实上是被加了两次，因此这套房子的面积为

38+44-24=58（m²）

在图 22—1 中记 A 为小圆面积，B 为大圆面积，A∩B 为阴影面积，A

∪B 为图形面积则有A∪B=A+B-A∩B ※

容斥原理：当两个计数部分有重复时，为了不重复的计数，应从它们的和中减去重复部分．容斥原理常用“※”式表示．

例 2 赵红和她的父母一起买东西，中午吃饭共用 30 元，回家后列账单如下

他们共花了多少钱？

分析 赵红花 112 元，父亲花 78 元，母亲花 71 元，但中午饭费被计

1. 次，重复部分应减去．

解 112+78+71-2×30=201（元）

例 3 在小于 100 的自然数中既不是 3 的倍数，又不是 5 的倍数的数有多少个？

分析 只须求出被 3 整除与被 5 整除的数有多少个，问题就解决了． 被 3 整除的数有 3、6、9、12⋯⋯3k⋯99 共 33 个

被 5 整除的数有 5、10、15、20⋯5m⋯95 共 19 个

既能被 3 整除，又能被 5 整除（即能被 15 整除的数有 15、30、45⋯ 15p⋯90 共 6 个）

解 由容斥原理，能被 3 整除或能被 5 整除的数共有 33+19-6=46（个）故小于 100 的自然数中既不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数的数共有

99-46=53（个）

例 4 小于 100 的自然数中非 3、4、5 倍数的数共有多少个？

分析 如图 22—2，I 为小于 100 的自然数集，A 中是被 3 整除的数有 33 个，B 中被 4 整除的数有 24 个，C 中是被 5 整除的数有 19 个，阴影部分为 A∩B∪C 即能被 3×4×5=60 整除的数只有一个．由容斥原理有：被 3 或 4 或 5 整除的自然数共有

A+B+C-A∩B-A∩B-B∩C+A∩B∩C

解 由容斥原理有

99-[33+24+19-8-6-4+1]=59

答：小于 100 的自然数中非 3、4、5 倍数的数共有 59 个．

例 5 六年级一班 45 名同学每人都报名参加暑假体育训练班，其中

足球班报 25 个，篮球班报 20 人，游泳班报 30 人，足球、篮球都报有 10

人；足球、游泳都报有 10 人；足球、篮球都报有 12 人．问三项都参加的有多少人？

解 设三项都参加的有 x 人（如图 22—3）

由 容 斥 原 理 有 ： 25+20+30-10-12-10+x=45

故 x=2

答：三项都参加的有 2 人．

例 6 如图 22—4 三个圆两两相交，它们覆盖的面积为 49cm²．又知圆 A 面积（以下简称为 A）为 25cm²，B=20cm²，C=18cm²，A∩B=6cm²，A

∩C=5cm²，A∩B∩C=1cm²，求 B∩C．

分析 由容斥原理知三面覆盖面积 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩ C+A∩B∩C．这事实上是一个方程，在这个方程的各项中如果只有一项未知，就可通过上述方程，求出未知数，这就是要具备方程思想．

解 由容斥原理有 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C 即 49=25+20+18-6-5-B∩C+1

故 B∩C=4（cm²）

答：圆 B 与圆 C 的公共部分为 4cm²．

例 7 某校六年级二班有 49 人参加了数学、英语和语文学习小组．其

中数学有 30 人参加，英语有 20 人参加，语文有 10 人参加，若既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，既参加数学又参加语文的有 3 人，而三种全参加的只有 1 人，求既参加英语又参加数学的人数．

解 设既参加数学又参加英语的人数为 x 人，既参加英语又参加语文的有 y 人．由容斥原理有

49=30+20+10-x-y-3+1

故 x＋y=9

由于 x，y 都是质数，则 x，y 中有一个是 2，另一个是 7． 答：既参加数学，又参加英语补习的人有 2 个或 7 个．

例 7 某班参加升学考试，得满分人数如下：数学 20 人，语文 20 人，

英语 20 人，数学、语文两科满分者 8 人，数学、英语两科满分者 7 人；

语文、英语两科满分者 9 人；三科都没得满分者 3 人，问这个班最多多少人？最少多少人？

解 设三科都得满分的人数为 x，全班人数为 y．（如图 22—5）

由容斥原理有y=20+20+20-7-8-9+x+3

=39+x

由于 0≤x≤7

故全班最多有 46 人，最少有 29 人．

例 8 如图 22—6 正方形边长为 4cm，求阴影部分的面积．

分析 正方形面积有两种计算方法，用容斥原理，它等于四个直径为4 的半圆面积之和减去阴影面积，同时又等于 4²（方程思想）

解 由容斥原理有（设阴影面积为 x） 4²＝4π·2²-x 故 x=16π-16=34.24（cm²）

例 9 如图 22—7 直角三角形三边长分别为 3cm，4cm，5cm，以三边为直径分别作半圆．求阴影部分的面积．

解 由容斥原理有（设阴影面积为 x）

x = ·（ （ ·（ ） ²π

= 6（cm²）

答：阴影面积为 6cm²．

例 10 如图 22—8 长方形长为 4cm 宽为 3cm，求阴影部分的面积．

解 由容斥原理有（设阴影部分面积为 x） x=1×4+1×3-1×1=6（cm²）

例 11 如图 22—9，每个小正方形边长为 2cm，求四边形 EFGH 的面积．

解 由容斥原理有

SABCD-S△EBF-S△FCG-S△GDH-S△HAE=SEFGH

即S = 68 − 1 ×1×3×2 − 1 ×1×2×2

EFGH 2 2

= 43cm²

答：四边形 EFGH 面积为 43cm²．