练习题三

1．当x＞ 15 时，[ 15 ] = 0，此时y = 0．

2 2x

15 2x

当x＜ 2 时，[ 15 ] = 0，此时，y = 0．

当x = 15 时，[ 15 ] = [ 2x] = 1，此时，y = 1．

2 2x 15

∴y 的值有两个：0 或 1．

n2

2．[ 4 ]为质数，所以n不是4的倍数，设n＝4k＋1，4k + 2和4k + 3

（k 为整数）

当 n=4k+1 时

n2

[ 4 ] = [

(4k + 1)²

4

] = 4k ² + 2k = (2k + 1)

显然 2k（2K+1）不是质数． 当 n=4k+2 时

n2

[ 4 ] = [

(4k + 2) ²

4

] = 4k ² + 4k + 1 = (2k + 1)²

显然（2k+1）² 不是质数当 n=4k+3 时

n2

[ 4 ] = [

(4k + 3) ²

4

] = 4k ² + 6k + 2 = 2(2k + 1)( k + 1)

显然，当 k=0 时，2（2k+1）（k+1）=2 是质数，所以当 n=3 时，

n2

[ 4 ]是质数．

3．∵x=［x］+｛x｝

∴原方程化为 3｛x｝+8｛x｝-50=0

∵8［x］，50 均为整数，所以 3｛x｝为整数，又因为 0≤｛x｝＜1，

所以 0≤3｛x｝≤2，所以 0≤50-8［x］≤2，由此得［x］

= 6，所以3｛x｝ = 2，｛x｝ = 2 ．

3

∴方程解为x = 6 2 ．

3

4．因 10=2×5，所以 1996！中末尾 0 的个数相当于 1996！的质因数分解式中 2×5 的个数，而质因数分解式中 5 的个数较少，因此只需求出

1996！的质因数分解式中 5 的最高幂指数即可．

由性质（10）的推论 2，以及 1996＜5⁵，可得 5 的最高幂指数为：

[1996] + [ 1996] + [1996] + [1996]

5 5²

53 54

=399+79+15+3=496

∴1996！中末尾有 496 个零．

5．由［4.05x］=［4.05］x 解得 x＜20，故满足方程的最大自然数为 19，∵19＜2⁵，所以 19！的质因数分解式中 2 的个数为：

[19 ] + [19 ] + [19 ] + [19 ] = 9 + 4 + 2 + 1 = 16（个）．

2 2²

23 24