第七课 工程问题

一、基本数量关系

工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量÷工作时间工作时间=工作量÷工作效率总工作量=各分工作量之和 二 、例题分析：

例1 一件工作，甲、乙二人合作6天完成了全部工作的

1 ，余下的

10

由甲单独干 10 天，再由乙单独干 3 天，正好完成全部工作．如果甲单独完成这件工作，需多少天？

分析 全部工作结束时甲总共干了 16 天，乙总共干了 9 天，我们可以看

成甲乙总共合干了 9 天，然后由甲再单独干 7 天，做完全部工作．由

于甲乙合作6

1

天完成全部工作的 2 ，那么合作

9天可完成全部工作的 1 +

2

1 ÷ 6 × 3 = 3 ，即甲单独干7 1

2 4 天可完成全部工作的 4 ．所以甲单独完成全

全部工作需7 1

4

28(天)

解（10 - 3）÷（ 1 ÷6×3） = 28（天）

1- 2 -

答：甲单独干需 28 天．

例 2 一件工程，甲工程队单独做 10 天可以完成，乙工程队单独做 15 天

可以完成．现在由甲、乙两队合作 5 天，剩下的工程由乙单独做，还需几天？

分析 甲单独做每天完成全部工程的 1

10

，乙单独做每天完成全部工

程的 1 ，甲乙两队合作5天完成全部工作的( 1 + 1 ) × 5 = 6 ．所以乙

15

单独做的部分是全部工程的 1

6

10 15 5

= 2.5（天）．

解[1 − ( 1 +

10

1 ) × 5] ÷ 1

15 15

= 2.5（天）

答：乙单独完成剩下的工程还需 2.5 天．

例 3 一件工程，甲独做 20 天完成，乙独做 30 天完成．现在由甲、乙合

作，因为甲中途休息了几天，结果用了 15 天才完成任务．问甲中途休息了几天？

分析 由于甲在合作过程中休息了几天，结果用了 15 天才完成全部任务．若甲中间不休息，合作 15 天就会超过全部工作量，而超过的部分恰好是甲休息没干的，由此可求出甲休息的天数．

1

解 [( 20

+ 1 × 15 − 1] ÷ 1

30 20

= [ 1

12

1

× 15 − 1] ÷ 1

20

1

= 4 ÷ 20 = 5(天)

答：甲中途休息了 5 天．

例 4 一件工程，如果甲先独做 12 天，然后乙再单独做 9 天正好完成；

如果乙先独做 18 天，然后再由甲再独做 9 天，也正好完成．如果这件工程由乙单独做，几天可以完成？

分析与解答 这个问题我们可以看作：甲乙合作 9 天，余下的工作若由甲独做需 3 天完成，若由乙独做需 9 天完成．由此可以看出，乙 9 天做的工作量等于甲 3 天做的工作量．即乙、甲所用的时间比为 3∶1．因此，乙单独完成这件工程要用：

18+9×3=45（天）或 9+12×3=45（天）

答：这件工程由乙单独干，45 天可以完成．

例 5 一个水池有甲、乙两个进水管，如果单开甲管 10 小时可将空池注满；如果单开乙管，15 小时可将空池注满；现在先单独开甲管 4 小时，而后同时用甲、乙两水管注水，还需几小时？

分析与解答 单开甲水管，10 小时可注满水池，每小时可注满水池

1

的 10

；单开乙管15小时注满水池，每小时可注满水池的 ．同时开启

甲、乙两水管每小时可注满水池的 1

10

• 1 = 1 ．现在单独开启甲管4小

15 6

时，它完成工作的： 1 × 4 = 2 3

10 5 ，还余下 5 ，所以同时开启甲、乙两水管

还需(1 − 2 ) 1 3 1 3.6(小时)．

5 ÷ 6 = ÷ =

答：还需 3.6 小时．

例 6 一个水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙．如果单开甲管 10

小时可将空池注满水，若单开乙管，可用 15 小时将水池注满，若单开丙管，

可用 18 小时将满池水放完．现在先单开甲管 5 小时，然后将乙，丙也同时开启，再用几小时可将水池注满？

分析与解答 单开甲管10小时可注满空池，每小时完成 1

10

，5小时

1 1

完成 2 ，单开乙管15小时注满空池，每小时完成 15 ．单开丙管18个小

时可将满池水放完，每小时放 1

18

．所以先单开甲管5小时，再将乙、丙

两管也打开，注满水池还需用的时间为：

1 1

(1 − 10 × 5) ÷ (10

+ 1 −

15

1

18)

1 1

= 2 ÷ 9

= 4.5( 小时)

答：还需 4.5 小时，才能将水池注满．

例 7 某车间生产一批机器零件，原计划每天生产 180 个零件，24 天完

成，实际比原计划提前 4 天完成，实际比原计划每天多生产多少个零件？

分析与解答 要求出实际比原计划每天多生产多少个零件，只需先求出实际每天生产多少个零件即可．

180×24÷（24-4）-180=4320÷20-180

=216-180=36（个）

也可以这样想，实际与原计划所完成的零件总数是相同的．由于当工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例，故原计划完成任务的天数与实际完成任务的天数比是 24∶（24-4）即 6∶5，这就是实际每天生产零件个数与原计划每天生产零件个数的比．由此可求出实际每天比原计划每天多生产的零件个数为：

( 6 − 1) × 180 = 36(个)

5

例 8 一项工程，甲队单独干 20 天可完成，甲队做了 8 天后，由于另有

任务，剩下的工作由乙队独做 15 天完成．乙队单独完成这项工程需多少天？

分析与解答 甲队单独干 20 天可完成，现在干了 8 天，做了全工程

的 1 × 8 = 2 ，这时还余下1 2 3 ，余下的工程乙队干了15天完成，

20 5

− 5 = 5

则每天完成全工程的 3 ÷ 15 = 1 ．

5 25

即：乙队单独完成此项工程所需时间为

1

1 ÷ [(1 − 20 × 8) ÷ 15]

= 1÷ [(1− 2) ÷ 15]

5

= 1 ÷ [ 3 ÷ 15]

5

= 1 ÷ 1

25

= 25(天)

答：乙队单独干需 25 天完成．

例 9 有一条公路，甲队独修需 10 天，乙队独修需 12 天，丙队独修需 15

天．现在让三队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了 6 天才把公路修完．当甲队撤出后，乙丙两队又共同合修了多少天才修完这条路？

分析 乙队、丙队都干了 6 天，6 天中乙丙两队完成了全部工作的

( 1 +

12

1 ) × 6 =

15

9 ，剩下的

10

1 是由甲队做的，而甲队独修需要10天，故

10

其每天修全工程的 1

10

．由此知甲队干的天数为： 1 ÷ 1

10 10

= 1．

解 甲队撤出后，乙、丙两队完成余下的工作所用时间为：

6 − [1 − ( 1

12

= 6 − 1

+ 1 ) × 6] ÷ 1

15 10

=5（天）

答：当甲队撤出后，乙、丙两队又共同修了 5 天才修完这条路．

例 10 若干辆车从某一仓库中运粮食，若每辆车装 m 吨（m 为自然数）， 则剩 20 吨未装；若每辆车装 9 吨，则最后一辆车只装 6 吨，问共有几辆车？

分析 在这个问题中给出了两种不同的装运方案，虽然在两种方案中每辆车装的粮食数量不同，但是粮食总重量及车辆数并未改变．

解 设共有 x 辆车，根据题意列方程： mx+20=9（x-1）+6

（9-m）x=23 x=23/（9-m）

由于 x、m 均为自然数，故 9-m 应为 23 的约数，且 9-m＞0，因为 23 为质数，所以 9-m=1，所以 m=8，x=23．

答：总共有 23 辆车．

例 11 有甲乙两队完成某项工作，开始时甲队工作了乙队完成全部工

1 1

作所需时间的 3 ，然后乙队工作了甲队完成全部工作所需时间的 4 ，于

2

是完成全部工作的 3 ．如果甲队先工作4小时，然后两队再合作6小时，

就可以完成全部工作的 7

10

，问两队单独完成这项工作各需多少小时?

解 设甲队单独完成全部工作需 x 小时，乙队单独完成全部工作需 y 小时，设全部工作量为 1，则根据题意有：

 y + x = 2

 3x 4y 3

(1)

 4 1 1 7

 + ( + ) ⋅ 6 =



(2)

 x x y 10

由（1）得 x=2y 或 3x=2y

x = 2y

则有10 6 7

+ =

3x = 2y

或10 6 7

+ =



 x y 10  x y 10

x

 1

解得

= 7 6

7

5

x₂

(舍)y

= 20

= 30

 = 15  2

 ¹ 7

答：甲单独完成全部工作需 20 小时，乙单独完成全部工作需 30 小时．