第二十七课 最佳方案

在我们的日常生活和劳动生产中，不论我们做什么事情总想做好， 使之得到最满意的结果．要想得到最满意的结果，就要从整体的观点， 全局考虑，统筹规划．这种问题大致分为两类：一类是确定一项任务， 如何精打细算，使用最少的人力、物力去完成它；另一类是已有一定数量的人力、物力，如何合理安排，使它们发挥最大限度的作用，从而多、快、好、省地完成任务．

目前，已有很多学者从事这种问题的研究，并且取得了成绩，为我国的建设事业作出了贡献．同学们熟悉的华罗庚爷爷在这方面的成就是巨大的，开创了我国应用数学领域的新天地．华罗庚爷爷特别关心青少年的教育，他老人家生前有很多为青少年所写的普及数学丛书，其中就有“统筹规划”方面的内容．在我们这一课中，也将一些有关“统筹规划，最佳策略”的简单问题介绍给同学们，希望我们的小读者做事多动脑筋，成为聪明的小“行家”．

例 1 小蕾为家里做饭，她择菜需要 8 分钟，洗菜 5 分钟，控水 3 分

钟，洗米 3 分钟，煮饭 10 分钟，切菜 4 分钟，炒菜 6 分钟．若小蕾家使用的是单火眼煤气灶，她怎样安排做饭顺序最省时合理？若小蕾家使用双火眼煤气灶又怎样安排才合理？

分析 择菜是洗菜的先决条件，洗菜是控水的先决条件，控水是切菜的先决条件，切菜是炒菜的先决条件．洗米是煮饭的先决条件．由此得到这样两条“主线”，它们可以互不干扰，但显然若先炒菜，再煮饭， 或先煮饭再炒菜不会是最合理的方案．因做菜过程中，控水占 3 分钟，

在做饭过程中，煮饭占 10 分钟，在这 13 分钟里，时间没有被合理使用．

解 设小蕾家使用单火眼灶具，即炒菜和煮饭不能同时进行．显然煮饭占火时间长，而这段时间内可以完成洗菜、控水、切菜等项工作．这样择菜用 8 分钟，洗米用 3 分钟，煮饭用 10 分钟（同时洗菜、控水、切

菜），补切菜 2 分钟，炒菜用 6 分钟，共用时间 29 分钟．

若先炒菜，后煮饭．则择菜 8 分钟，洗菜 5 分钟，控水 3 分钟（同

时可洗米），切菜 4 分钟，炒菜 6 分钟，煮饭 10 分钟，共用时间 36 分钟．所以，最合理的方案是：先择菜、洗米，在洗菜、控水、切菜的同时煮好米饭，最后炒菜．

设小蕾家使用双眼灶具，即炒菜、煮饭可以同时进行，这样马上可以得出，在煮饭的同时可以切菜，炒菜，不浪费一点时间，剩下来是洗米和控水可同时进行，再剩下来的就是择菜、洗菜，总共用时 26 分钟．这

种方案中，控水 3 分钟，煮饭 10 分钟被充分利用，显然是最佳方案． 说明：这道例题是向同学们展示“筹划最佳策略”的妙用，学会了

这种数学方法，会使你解决很多难题，收到实益．

例 2 某学校有试验田 25 亩，计划要种黄瓜和西红柿．这些土地根

据土质、水利条件，可分为三类（表 27—1）：一类地 8 亩，二类地 12

亩，三类地 5 亩．计划要求产黄瓜 8000 斤，西红柿不限．应如何安排种植，可使西红柿的产量高？

分析 这个问题属于作物布局问题，其关键是要计算“亩产比”．

解 计算亩产比（黄瓜比西红柿）

600 500

一类地： 800 = 0.75，二类地： 700 = 0.71

三类地： 400 = 0.67

600

即一类地种黄瓜最佳，其次是二类地，三类地种西红柿最佳．则选用一类地全部种黄瓜，可产：600×8=4800 斤，要求黄瓜产量是 8000 斤， 还差 3200 斤由二类地种植，即需要用地 3200÷500=6.4 亩，余下的 5.6 亩二类地，以及三类地都种西红柿，可产西红柿：700×5.6＋600×5=6920斤．这样就得到符合题意的最佳种植方法．

例 3 在一条公路线旁有四家工厂，工厂的职工数如图 27—2 所示．现要在这段路线上设立一个公共汽车站，问这个车站设在哪儿，可以使几家工厂的职工乘车方便？

分析 显然车站应设立在甲厂到丁厂的道路上，我们首先看看这段道路的端点甲厂和丁厂的附近是不是最佳位置．假如车站设在甲厂附近， 那么其他工厂的职工都要经过乙厂到甲厂方向来乘车，可是，其他三家工厂的职工总和为 2500 人，甲厂只有 500 人，这种使大多数职工不方便的位置决不会是最佳位置．我们的原则是“小靠大”，即少数人向多数人靠拢．所以，车站设在丁厂附近也不是最佳位置，因为丁厂 1000 人，

而甲、乙、丙三厂职工的总和是 2000 人，1000＜2000．这样车站应设在乙厂到丙厂的这段路上的某个位置．那么甲厂的职工至少要经过乙厂才能到车站，丁厂的职工至少要经过丙厂才能到车站，所以我们可以先将甲厂、丁厂的职工分别集中到乙厂和丙厂（如图 27—3），然后再确定车站的位置就方便多了．

解 四个工厂的职工人数总和为： 1000＋700＋800＋500=3000（人）

甲厂 500 人，丁厂 1000 人，它们都小于四厂总人数的一半．根据“小靠大”的原则，甲厂附近和丁厂附近都不是车站的最佳位置，甲厂与丁厂要分别向乙厂和丙厂靠（图 27—3），这样丙厂就相当于 1700 人，乙厂相当 1300 人，再由“小靠大”的原则，1700＞1300，所以乙厂应向丙厂靠，即车站应设在丙厂附近为最佳．

说明：上述甲厂的人数小于四厂总人数的一半，即甲厂的人数比其余三厂人数总和小，所以要向左靠，若甲厂的人数大于四厂总人数的一半，即甲厂的人数比其余三厂人数总和大，则其余三厂要向甲厂靠，那么车站就应设在甲厂附近．

例 4 图 27—4 是一张公路运输图，图中两条相交直线表示两条公路线，“□”与“○”分别表示运出货物与运进货物的地点，数字表示

运输方案．

分析 货物运输包含两个因素，一、运输路程，二、货物重量．如果路程以公里为单位，货重以吨为单位，那么运输量以吨公里为单位．比如，一吨的货物运送一公里，那么运输量就是一吨公里．所谓最佳运输方案，就是使运输的吨公里数尽可能的小．要做到这一点，就要防止对

就来寻找一个最佳方案．

解 制定最佳方案的原则是：在不产生对流的前提下就近运送货物． 方案．

说明：如果同学们有兴趣，可以验证这种方案的最佳性，先求出吨公里数（运程可由同学根据图中线段的长短量定），再与其余的方案比较．

例 5 2.8 米长的圆钢材，要截成 1.2 米、0.9 米两种长度的钢料段，

以备制做零件，现在要求两种钢料各 60 段，至少需要 2.8 米的圆钢多少

件？

分析 初看起来，问题很简单，每件原料都可以截下 1.2 米和 0.9 米

的钢料各一件，共需 60 件．但如此截取造成很大浪费，因为 2.8—1.2

—0.9=0.7（米），剩下的残料比较多，用途不大，所以，这样的截取不是最佳的，应找出一种最省料的截取方法．

解 为了节约用料，我们找出以下两种截取方法：

1. 截成 1.2 米的钢件两段，余料 0.4 米．

2. 截成 0.9 米的钢件三段，余料 0.1 米．

设取 2.8 米长的原料 x 件．用截法（1）；取 y 件原料，用截法（2）， 则有：

2x = 60

3y = 60

x = 30

y = 20

即取 30 件原料截成 1.2 米长的钢段，取 20 件原料截成 0.9 米长的

钢段，总共使用 50 件原料，节约 10 件原料，并且残料仅为：0.4×30+0.1

×20=14 米．

例 6 某乡有八个行政村，如图 27—6 分布．点表示村庄，线表示道路，道路的长短如图 27—6．现在这个乡要建立广播网，沿道路架设电线， 问沿怎样的路线架设电线最省？

分析 要在全乡架设广播线，显然整个线路应该是连通的，所以，架设的广播线形成一个脉络，而且应是树形脉络．因为要求的脉络总长度要尽可能短（即电线最省），有闭路就会造成浪费，由此得出这个脉络

（电线的架设图）是由 8 个点（即 8 个村）和 7 条线组成，题目所给的乡村分布图是一个圈形脉络．由以上分析，需要把它转化为树形脉络．解 要把圈形脉络转化成树形脉络，就是要把构成圈（即闭路）的某

条线去掉．此方法叫做剪圈法．根据题目的要求，剪圈时，要去掉构成圈的最长一条线，这样的做法叫做取短法．

首先去掉 AF，即剪开圈 AGEFA，因为AF 是最长的线．在圈 AGHBA 中， AB 是最长的线，把它去掉，以下顺次去掉：BCHB 中的最长线 BC，CDHC 中的最长线 CD；DEHD 中的最长线 HD；HEGH 中的最长线 EG；到此圈形脉络图 27—6 转化成了树形脉络图 27—7，且脉络的总长度是最短的，即为题目所求的最佳架线线路．

例 7 甲、乙两城之间有多条道路可通，如图 27-8，图中数字表示该段道路上的最大通过能力．求出甲、乙两城间的最大通过能力．

解 解决这类问题的基本原则是：由外及内依次计算．即最外层道路是：①甲→A→D→乙，②甲→B→乙．它们的最大通过能力都是 10．其次有道路③甲→A→C→D→乙，④甲→B→C→乙，它们的最大通过能力分别是 10、20．则甲、乙两城总的通过能力为 50．