第十三课 推理（一）

思维是人类大脑的一种高级活动．而推理就属于思维的范畴．正确的推理可以使我们作出正确的判断，得到正确的结论．推理的能力不是天生的， 而是在不断的实践活动中逐渐锻炼培养出来的．本课将使同学们得到这方面的训练．

例 1 有 A、B、C、D、E、F 六人坐在一张圆桌周围打牌．已知 E 与 C 相隔一人坐在 C 的右面（如图 13—1），D 坐在 A 对面，B 与 F 相隔一人坐在 F 的右面，F 与 A 不相邻．试问 A、B、D、F 各坐位置？

分析 为了便于说明，先把六个位置编上号，E 所在位置为 1 号，然后顺时针依次排列．

解 由已知，D 坐在 A 对面，所以他们的位置只能是 2 号位和 5 号位．这样 B、F 只能是 4，6 号位，又知 B 在 F 的右面，所以 B 应在 4 号位置，F 在 6 号位置．由于 F 与 A 不相邻，所以 A 在 2 号位置，D 在 5 号位置．

例 2 有一个立方体，每个面上分别写上数字 1，2，3，4，5，6．这个立方体的三种摆法所显示出的数字如图 13—2，问这个立方体上的每一个数字的对面各是什么数字？

分析 从第一个图上看，1 的对面不是 4 和 6，从第二个图上看，1 的对面不是 2 和 3，所以1 的对面只能是 5．同理可求出立方体上的其它数字的对面各是什么数字．

解 由第一个图与第二个图可知，1 的对面数字是 5，由第二个图与第三个图可以看出 3 的对面数字是 6，由此可知剩下的二个数字即 4 和 2 是互对的数字．

例 3 一位老师当着 A、B、C 三位学生的面拿出 5 顶帽子，三白两黑．然后将三位学生的眼睛蒙住，分别给他们各戴上一顶帽子，其余两顶收了起来．老师先打开 A 学生的眼罩，问他知不知道自己戴的是什么颜色的帽子，A 回答不出来．老师又打开了 B 学生的眼罩，问 B 知不知道自己戴的是什么颜色的帽子，B 也回答不出来．这时 C 学生正确地说出自己戴的是白帽子，试说明其理由．

分析 由题设，共有 5 顶帽子，三白两黑．A、B、C 各戴一顶．当 A 的眼罩被打开他所看到只是 B、C 头上的帽子．假如 B、C 所戴的都是黑帽子， 则 A 马上可以断定自己戴的是白帽子．由于 A 判断不出自己的帽子的颜色， 说明他所看到只能是两白或一白一黑的帽子．轮到 B 时，他仍然说不出自己

的帽子颜色，说明他看到 C 戴的是顶白帽子．这是因为如果 C 戴的是黑帽， 根据上面刚说的两种情况，B 必然戴的是白帽．

解 由以上分析可知，C 是根据 A、B 提供的信息，轻松地说出自己戴的帽子是白色的．

例 4 把 1，2，3，4，5，6 填入表格内（见表 13—3），要使得每一行右边的数字比左边的数字，每一列下面的数字比上面的数字大，问共有几种填法？

解 依题意，A＜B＜C，D＜E＜A/B/CF，A＜D，B＜E，C＜F，可见 A 最小，FD/E/F 最大，故 A=1，F=6，因为 B＜C，B＜E 表 13-3 故 B 只能取值 2， 3

1. 若 B=2，则 C 可为 3，4，5．共三种填法如下：

1. 若 B=3，则 C 可为 4，5．共两种填法如下：

因此符合题意的填法共五种．

例 5 某工厂有六名棋手进行单循环比赛．比赛分三场同时进行，共赛五天，每人每天赛一场．已知在第一天 C 和 E 对弈，第二天 B 和 D 对弈，第三天 A 和 C 对弈，第四天 D 和 E 对弈．试问：F 在第五天与谁对弈？

解 先考虑 C 每天与谁比赛．已知：第一天 C 与 E，第三天 C 与 A，因而 C 与 D、B、F 的比赛只能分别在第二、四、五天．由于第二天 D 与 B 比赛， 所以 C 与 F 的比赛只能是第二天．又由于第四天 D 和 E 对弈，所以第四天 C 与 B，第五天 C 与 D．用同样的方法可以得出 D 每天与谁比赛的情况．即第二天 D 与 B，第四天 D 与 E，第三天 D 与 F，第一天 D 与 A，第五天 D 与 C．

由以上的结果，很容易可以推出，第一天 F 与 B 比赛，第二天 F 与 C 比赛，第三天 F 与 D，第四天 F 与 A，所以第五天 F 与 E 比赛．

例 6 由 A、B、C 三个班中各出 3 名学生比赛长跑．规定第一名得 9 分，

第二名得 8 分，第三名得 7 分，⋯，第八名得 2 分，第九名得 1 分．比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的．如果第一名是 C 班的，第二名是 B 班的，那么最后一名是哪个班的？

解 九名学生的总分为： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45

由于三个班的总分相等，即每个班均为 15 分，将 1—9 这九个自然数， 三个数一组分为 3 组，使每组之和都是 15，只有以下两种情况：

（1）一组得分为：9，5，1 二组得分为：7，6，2 三组得分为：8，4，3

（2）一组得分为：8，6，1

二组得分为：9，4，2 三组得分为：7，5，3．

在第一种情况中，二组、三组都有相连的数，即相连的名次，这不合题意，所以只能取第二组的数字．

那么 C 班有第一名，得分是 9，4，2；B 班有第二名，得分是 8，6，1；则 A 班得分为 7，5，3．可见最后一名是 B 班的学生．

例 7 三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分， 考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少．各科都是如此记分．已知甲最后得分 22 分，乙最后得分 9 分，丙也是得 9 分．并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？

解 由乙英语第一，至少乙得 3 分．且总分为 9 分，所以科目不会

多于 7 科，且每科第一名至多得 8 分，又由甲总分为 22 分，所以考试科

目不少于 3 科．

因为三人共得 40 分，而每科分配得分情况相同，故考试科目数应是

40 的约数，而 3、6、7 都不是 40 的约数，所以只可能是 4 科或 5 科．若

是 4 科，每科共为 10 分．按名次分配应有 4 种：（7，2，1），（6，3， 1），（5，4，1），（5，3，2）

由甲共得 22 分，且至多有 3 科第一（英语不是第一），则后三种情

况不成立，因为既便是 3 科第一，1 科第二，总分也达到不了 22 分．

又由乙得 9 分，且英语第一．如果按（7，2，1）分配，即便其他三

科都是最后一名，得 1 分，总分也超过 9 分．所以，以上几种情况不能成立．

若是 5 科，每科共为 8 分．按名次分配只有两种：（5，2，1）；（4，

3，1）．而后一种也不能成立，原因仍然是不能与甲 22 分吻合．所以只有（5，2，1）符合题意．

按照这种分配方案：乙的得分情况是 5，1，1，1，1．甲的得分情况是 5，5，5，5，2．且得 2 分的科目只能是英语，所以数学第二只能是丙．