第二十八课 最佳策略

我们经常看到许多带有竞赛或争斗性质的现象，小至下棋、游戏， 大至军事较量等．显然人们在竞赛和争斗中总是希望自己一方最终取得胜利或获得尽可能好的结局，这就需要为此而作出努力．然而这必定遭到对手的干扰和阻挠，所以自己要想取得胜利，必须考虑对手可能采取的策略，从而制定出自己的对策来．这就是所谓“知己知彼，百战不殆”．我们将这种现象称之为“对策现象”．

“对策现象”有三个最根本的要素： 一、局中人

在一场竞赛或战斗中都有参加者，他们为了在对策中取得好结果， 必须制定对付对手的行动方案，我们把这种有决策权的参加者称为局中人．局中人的概念是广义的，是指参加竞争的各个阵营．并且称只有两个局中人的对策现象为“双人对策”，而多于两个局中人的对策称为“多人对策”．

二、策略

把一个局中人的一个可行的自始至终通盘筹划的行动方案，称为这个局中人的一个策略．

三、一局对策的得失

在一局对策中，必有胜利者和失败者，名次有前有后，我们称之为“得失”．每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所取定的策略有关．

下面我们来看几道例题．

例 1 甲、乙二人轮流地往一张圆桌面上放一枚五分硬币，唯一的规则是任何两个硬币不能重叠，谁放完一枚后而使得对方无法再往桌面上放硬币时，谁就是胜利者．

分析 问题中对于圆桌面的大小没有做任何规定，大小是无关紧要的，关键是桌面几何形状的对称性．

作为先放的人，设为甲，如果把第一枚硬币对准圆桌面的中心放下去，要是桌面太小，以致乙无法再放，乙就输了；要是乙还能放一枚硬币，其位置在点 A（见图 28—1），那么 A 点关于圆桌面中心 O 的“对称点”A'上，一定是空着的，并且足以再放一枚硬币．这时，甲就应当把一枚硬币对准 A'放下去．

解 设甲先放硬币．由于圆桌面的对称性质，也就是除中心 O 外，桌面上随便一点 A，总可以找到一个关于 O 的对称点 A'，使得 A 到 O 的距离等于 O 到 A'的距离．只要乙在一个位置上放一枚硬币，甲就可以在相应的对称位置放一枚硬币．圆桌的面积是有限的，总有放满的时刻，因而第一个无处可放的必然是乙，所以甲必然获胜．

例 2 有一堆火柴共 1996 根，甲、乙两人轮流从中拿取火柴，每人

每次最多可拿 3 根，最少拿 1 根，谁能拿到最后一根谁为胜．若甲先拿， 问谁有必胜的策略？

分析 已知每人每次最多可拿 3 根，至少要拿 1 根，则拿取火柴的最

多根数与最少根数之和为 4．而 1996 恰好是 4 的倍数．则不论甲一次拿几根，只要乙每次所拿火柴的根数与甲刚拿的火柴根数之和为 4，即能保证乙能拿到最后一根．

解 乙有必胜的策略．设甲每次拿 n 根，则乙就拿 4—n 根．其中 n 只能取 1、2、3 三个数．

例 3 甲、乙二人轮流从分别写有 1、2，⋯99 的 99 张卡片中任意取走一张，问先取卡片的人能否使最后剩下的两张卡片上的数字互质？

分析 要使两张卡片上的数字互质（即这两个数的最大公约数为 1）， 最简单易行的是使最后剩下的两张卡片上的数字为一个奇数和一个偶数．而 99 张卡片中有奇数卡片 45 张，偶数卡片为 44 张．故先取卡片的人有必胜的策略．

解 先取卡片的人首先取走一张奇数卡片，接下来，若后取者取奇数卡时，先取者就取偶数卡，若后取者取偶数卡，则先取者就取奇数卡， 总之先取者每次取卡都能保证剩下的卡片上奇偶数一样多，最终必取得胜利．

例 4 两人轮流在图 28—2 的空格内画符号．甲画“√”，乙画“×”．规定每人每次至少画一格，至多画三格．空格画满后，分别清点一下，哪一方的总数是偶数，哪一方就获胜，问如何就能确保获胜？

分析 先来考虑简单情况．如果只

有一个格，当然先画者必败，如果只有九个格，设甲先画，乙后画， 我们来讨论以下三种情况：

1. 甲先画一格，乙如果画三格，则给甲留下五个格，这时甲无论怎样画，乙都有办法获胜；

2. 甲先画二格，乙如果画三格，则给甲留下四个格，这时乙同样有办法获胜．

3. 甲先画三格，乙只要画一格，就转化为（1），还是乙胜．

   有了以上特殊情况的启示，我们可以得到如下的解答．

解 先走的人必败．因为小方格的数是奇数，两人画格子数必定是一奇一偶．若甲先画，那么乙应采取的策略如下：

由表逆推上去，不难得出乙取胜的方法；

1. 甲在取得偶数的情况下，乙应该留给甲的空格数是：

20，17，12，9，4，1

1. 甲在取得奇数的情况下，乙应该留给甲的空格数是： 21，16，13，8，5，0

例如，甲先画 2 格，则乙应画三格；甲又画 3 格，乙应画 1 格等等． 说明：这道题是将从特殊到一般的分析方法与倒推法结合起来运

用．象这样把多种方法结合起来运用，往往能使我们尽快地找到解题思路．

例 5 两人轮流在国际象棋盘的空格内放入“相”棋，一方为黑棋， 一方为白棋．当任何一方放“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相” 吃掉，谁先无法放棋子谁为输者．问谁为输者？

（注：国际象棋盘为 8×8 格的方形盘，“相”棋的走法为斜飞，格数不限．）

分析 由“相棋”的走法，每一“相”棋在棋盘上可以控制两条斜路， 如图 28-3 所示，凡落入这两条斜路上的棋都受到攻击．双方放“相”棋时，只需避开受控的斜路就会安然无恙．

解 先走棋者输．这是因为先走者无论把“相”放在什么位置，后者都可把“相”放在对方棋子的“对称”位置上（以棋盘中间的竖直平分线为对称轴），这样能够保证：（1）后走者必有放棋子的格子；（2） 后走者放入的“相”不会被对方刚刚放入的“相”吃掉，因为“相”是斜飞，不能直走，所以双方的“相”在某一横行上可以“和平共处”；

1. 后走者放入的“相”也不能被对方以前放入的“相”吃掉．因为先走者放入的“相”一定避开了对方已有的“相”，由对称性后走者的“相”

   也不会遭到攻击、如此下去，先走者终有不能再走的时候，从而失败．

例 6 有三堆棋子，分别为 7，8，9 枚，甲、乙两人轮流从其中任意一堆中取走若干枚棋子且至少取一枚，谁能拿到最后一枚谁就获胜．求获胜者的策略，

分析 由已知条件，很难一下确定谁能获胜（即先取者有必胜的策略还是后取者有必胜的策略）．下面我们先看简单的情形：

1. 出现只剩两堆的情况：

①若两堆棋子数相同，则谁遇到谁输．因为不论你选择哪一堆拿走多少枚，对方只需在另一堆拿走相同的棋子数就最终能拿到最后一枚．

②若两堆棋子数不相同，则谁遇到谁就胜．因为只须从较多的一堆中拿走一些棋子，使剩下的棋子与另一堆一样多，即为①的情形．

1. 出现三堆仅剩 1，2，3 的情况．

这种情形是“输形”，谁遇到谁就会输，因为不论你怎么拿，对方都可以给你制造出上面①的情形．这种“输形”的特点是：两堆为奇数， 一堆为偶数，并且其中一堆奇数与一堆偶数之和等于另一堆奇数．

于是谁遇到具有上述输形特点的情形，谁就要输．反之，谁能给对方制造出具有上述输形特点的情形，谁就必胜．

解 先拿的一方有必胜的策略．

设甲先拿棋子，则应选择“7”的一堆拿走 6 枚棋子，剩下情形是 1， 8，9．不论乙如何拿必破坏输形特征，而轮到甲时，甲又可以为对方制造出输形，乙必败．

例 7 在 8×8 的棋盘中，有三枚棋子（如图 28-4）．两人轮流按顺时针螺旋方向移动棋子，移动的格数不限，但每人每次只能移动一枚．谁能使最后一枚棋子移到终点 A 谁为胜利者．问先移棋子的人能否取胜？

分析 这个题实际上只是将例 6 改变了一种形式，其实质并没有改变．

三枚棋子分别距 A 为 11，31，60 格．这相当于有三堆棋子，分别有11，31，60 枚．谁能将最后一枚移至 A 格，就相当于谁能拿到最后一枚棋子．

解 先移棋子的人必胜．

他只须将离 A60 格的棋子先前移动 40 格，那么剩下的情形是，三枚棋子距 A 分别为 11，31，20，则这个“输形”留给了对方，对方必败．