第十二课 抽屉原则（二）

在上一课中，我们学习了抽屉原则（一），通过学习我们可以发现，很多表面看来很难说清楚的问题，通过我们合理地构造抽屉，都可用抽屉原则

〈一〉巧妙地进行解决．抽屉原理除去我们在上一课中所接触的结论，还有以下更一般的结论．

抽屉原则（二）：把多于 m×n 个物体放到 n 个抽屉里，那么一定有一个抽屉里有 m＋1 个或者 m＋1 个以上的物体．

例题分析：

例 1 某班组织全班 45 人进行体育比赛，项目有 A、B、C 三项，规定每人至少参加一项，最多参加两项，至少有几个人参加的项目完全相同？

**解：**按要求，我们将比赛项目分组：｛A｝，｛B｝，｛C｝，｛A，B｝，

｛A，C｝，｛B，C｝．

我们将上述 6 种情况看作 6 个“抽屉”，由于 45=6×7＋3，根据抽屉原

则〈二〉，至少有 8 个人参加的项目完全相同．

问题：在上述问题中，如果规定每个人必须参加，且只能参加一项比赛， 情况如何？如果不加限制条件呢？

例 2 在一次钓鱼比赛中共有 100 人参加，比赛结束后，裁判宣布最少

的钓了 7 条鱼，最多的钓了 20 条鱼，问这 100 人中，至少有几个人钓的鱼一样多？

解答：这 100 个人所钓的鱼按条数分为 14 种情况，将每一种情况看作一

个抽屉，将 100 个人任意放入这 14 个抽屉中，由于 100=7×14＋2，由抽屉

原则〈二〉可知，至少有 8 个人钓的鱼条数一样．

例 3 某班学生 40 人开展读书比赛活动，他们从学校图书馆借书，要保

证其中至少有一人一次能借到 5 本书，图书馆至少应为这个班准备多少本书？

**解答：**将这个班的 40 个人看作 40 个“抽屉”，将图书馆为他们准备的

书看作“苹果”，要使 40 个抽屉中至少有一个抽屉里放入了 5 个苹果，根据抽屉原则〈二〉可知，苹果数至少应为 40×4+1，即：图书馆至少应为这个班的学生准备 161 本书．

例 4 将 25 支笔放入六个铅笔盒中，证明至少有一个铅笔盒中放入了不

少于 5 支笔．

证明，将六个铅笔盒看作六个“抽屉”，将 25 支笔看作“苹果”，由于

25=4×6＋1，根据抽屉原则〈二〉，至少有一个铅笔盒中放入的笔不少于 5 支．

以上几例抽屉和苹果均较明显，解决起来比较方便，而有些问题，抽屉和苹果较隐蔽，要想将问题解决，需要我们通过分析，合理地构造抽屉，才能使问题得到解决．

例 5 某单位购进一批桔子共计 90 箱，每箱至少 110 个，至多 138 个， 现将桔子数相同的箱子作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱桔子？

**解答：**根据题意，由于每箱至少 110 个，至多 138 个，按每箱的桔子个

数，可构造 29 个“抽屉”，将 90 个元素放入到 29 个抽屉中，由抽屉原则〈二〉

可知，箱子数最多的一组，至少有 4 箱桔子．

例 6 某年级共有学生 300 人，年龄最大的 15 岁，最小的 13 岁，问：

其中至少有多少人是同年同月出生的？

**解答：**根据题意，在这 300 名学生中，年龄最大的和年龄最小的相差三

个年份，共计 36 个月份，将这 36 个月份看作 36 个抽屉，那么，将 300 个元

素投放到 36 个抽屉中．

因为 300=8×36＋12．所以必有不少于 9 个元素在同一抽屉中． 即：其中至少有 9 名同学是同年同月出生的．

例 7 已知在边长为 1 的等边三角形内（包括边界），任意点了

1

），求证，至少有三个点，两两之间的距离不大于 2 ．

证明：如图，等边三角形 ABC 三边中点为 D，E，F，这样 DE，

EF，FD把边长为1 1

的等边三角形分割成四个边长为 2 的等边三角形．如

果规定线段 DE，EF，FD 上的点是属于 ADEF 的，那么，△ABC 内的所有点被划分为四个互不相交的区域，把每个区域看作一个“抽屉”．在△ABC 内任意点 10 个点，根据抽屉原则〈二〉，至少有三个点落入同

1

一区域内，也就是一定有一个边长为 2 的等边三角形，其中包含三个点，

1

显然，它们两两之间的距离不大于 2 ．

例 8 在半径为 1 的圆内，任意点 17 个点，则一定有三个点使得以

π

它们为顶点的三角形面积小于 8 ，为什么？

解答： 将单位圆 8 等分（分法如图 12 — 2 ），可得到 8 个面

π

积相等的小扇形，每个扇形的面积为 8 ．将这8个扇形当作8个抽

屉，任意 17 个点看作元素，根据抽屉原则，至少有三个点落入同一扇形中，

π

由这三个点为顶点构成的三角形面积必小于扇形面积，所以其面积 小于 8 ．

说明：例 7，例 8 这两例是采用分割图形的方法来构造抽屉，利用这种方法构造抽屉在解决有关的几何问题上，效果往往比较显著．但要注意，不要认为用分割图形法构造抽屉只是简单地将几何图形若干等分就可以了．构造不科学仍达不到解决问题的目的，在下面的思考题中，给出了四种分割方法，大家来思考，四种分割方法构造抽屉是否都能用来说明问题．

思考：如果在边长为 1 的正方形中，任意放入 9 个点，则至少存在

1三个点，以它们为顶点构成的三角形面积不超过 ．

8

这里给出四种分割图形来构造抽屉的方案（如图 12—3），问哪种方案不能用来说明问题？为什么？

例 9 用红、黄两种颜色的线段，分别连接平面上六个点（其中任意三点不共线）．证明：其中一定存在一个三角形，其三边是由同颜色的线段组成的．

证明：如图 12—4 所示，不妨记平面上这六个点为 A、B、C、D、E、F．考察从 A 点出发的五条线段，由于每条线段的颜色或为红色，或为黄色，由抽屉原则知，这五条线段中必有 3 条线段同色，不妨设 AB、AC、AD 同为红色， 再考察连接端点 B、C、D 的线段 BC，BD，CD 若这三条线段同色，则△BCD 就是所要找的三角形．若△BCD 三边不同色，则由抽屉原则知必有两边同色， 另一边为另一色，不妨设 BC 边为红色，则△ABC 就是一个红色三角形．故无论哪种情况，结论都是正确的．

例 10 把 1600 颗花生分给 100 只猴子，证明：无论如何分，至少有 4 只猴子得到的花生一样多．

证明：先考虑能否设计一种分法，使任意 4 只猴子分到的花生数不同．通

过试算可以知道：3×（0＋1＋2+3＋⋯+32）=1584①，这说明对 99 只猴子可

以做到任意 4 只猴子都可以不分得同样数量的花生，而第 100 只猴子只能分

16 颗花生，而前面 99 只猴子中，已有 3 只分到 16 颗花生了，故分 16 颗花

生的猴子是 4 只．

实际上，通过①式可以说明，100 只猴子只能有 33 种不同分法，否

则花生总数就会超过1600颗，根据抽屉原则，至少有[100]＋1 = 4只猴子分

33

得的花生一样多．

例 11 袋中有 25 个红球，24 个蓝球，23 个黄球，15 个白球及 14 个黑球，如果要保证摸出 16 个相同颜色的球，一共要从袋中摸取多少个球？

**解答：**显然摸到同色的 16 个球不可能是白色和黑色的．然而任意摸出的球中难免出现白色球和黑色球，从最不利的情况入手考虑，假如开始摸出的球都是白色的、黑色的，这总共有 15+14=29 个，而继续摸下去，最不利的

情况是连续摸出的 45 个球中，红、黄、蓝色的球各占 15 个．在这种情况下， 要保证有 16 只同色的球，最多只要摸出 15＋14＋3×15＋1=75 个球．

例 12 对于任意五个自然数，证明其中一定有 3 个数，它们的和能被 3 整除．

证明：任一整数除以 3，余数只能是 0，1，2 三种可能，将此看作三个抽屉，所给的五个数分布在这三个抽屉中，会有以下几种情况：

1. 若这三个抽屉中，每个抽屉都不空，则在每个抽屉中各取一个数， 被 3 除的余数分别为 0，1，2．显然这三个数之和是 3 的倍数．

2. 若这三个抽屉中有一或两个是空的，根据抽屉原则（二）可知，必有三个数被 3 除余数相同，而余数相同的三个数之和必是 3 的倍数．