二、例题分析

例 1 一大一小两只装满糖水的杯子，大杯中装有浓度为 4％的糖水600 克，小杯中装有浓度为 20％的糖水 400 克．各取多少克分别放入对方杯内，才能使这两杯糖水的浓度一样？

解法 1：大杯中含糖重量为 600×4％=24（克） 小杯中含糖重量为 400×20％=80（克）

两杯糖水混合后浓度为：

24 + 80

600 + 400

= 10.4％

设从两杯中各取出 x 克糖水放入对方杯子中，才能使两杯糖水浓度一样．

（600-x）×4％+20％x=600×10.4％

24 - 1 x + 1

25 5

x = 62.4

x=240

答：应从两杯中各取出 240 克放入对方杯子中，才能使两杯糖水浓度一样．

解法 2：

依题意使两杯中糖水的浓度相等得等量关系：大杯糖水浓度=小杯糖水浓度．

设从两杯中各取出糖水 x 克．列方程得

（600 − x）×4% + x×20% 600

解得：x=240

= （400 − x）×20% + x×4%

400

答：应从两杯中各取出 240 克放入对方杯子中才能使两杯糖水浓度一样．

例 2 现有浓度为 20％的盐水 50 千克．要想得到浓度为 10％的盐水， 需加水多少千克？

解 依题意：加水前后盐水中含盐的重量相等．可设需加 x 千克水， 列方程得：

50×20％=（50+x）×10％

100=50+x x=50

答：需加水 50 千克．

例 3 甲容器中有 8％的农药 300 千克，乙容器中有 12％的农药 120 千克．在甲、乙两容器中倒入等量的水，使两个容器中农药的浓度一样， 问倒入多少千克？

解 通过分析题意我们可以知道加水后： 甲容器中农药浓度=乙容器中农药浓度

设需往甲、乙两容器内各加入 x 千克水，列方程得：

300×8%

300 + x

x=150

= 120×12%

120 + x

答：倒入 150 千克水．

例 4 一容器内盛有浓度为 45％的硫酸，若再加入 16 千克水，则浓度变为 25％，这个容器内原来含有纯硫酸多少千克？

解答（一）：由于加水前后容器中所含纯硫酸的重量并没有改变， 所以我们只需将加水前后容器中所含纯硫酸的量表示出来即可：

设容器中原有溶液 x 千克：则有x·45％=（x+16％）·25％ x=20

∴ 容器中所含纯硫酸为 20×45％=9（千克） 答：容器中原来含有纯硫酸 9 千克．

解答（二）：设容器内原含有 x 千克纯硫酸． 依题意有：x÷45％=x÷25％-16

∴ x=9

答：容器内原含有纯硫酸 9 千克．

例 5 甲容器中有纯酒精 11 升，乙容器中有水 15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，然后将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这时甲容器中酒精含量为 62.5％，乙容器中酒精含量为 25％， 问从乙容器中倒入甲容器中的混合液有多少升？

分析 由题意知，第一次将甲容器中的纯酒精倒入乙容器一部分后， 乙容器中的混合液浓度为 25％，由此可知从甲容器中倒入乙容器中的纯酒精有多少．这样问题变为，将甲容器中剩下的纯酒精与浓度为 25％的酒精多少升混合，可得到浓度为 62.5％的混合液．

解 设第一次从甲容器倒入乙容器的酒精为 x 升，则有： x=（15+x）·25％ x=5（升）

所以甲容器中剩下的纯酒精为11-5=6（升）

设从乙容器倒入甲容器的混合液为 y 升，则有：

（6+y）·62.5％=6+25％·y解得：y=6（升）

答：从乙容器中倒入甲容器中的混合液为 6 升．

例 6 一容器内装有 20 升纯酒精，倒出 5 升后，用水加满，再倒出

10 升，再用水加满，然后再倒出 4 升，用水加满，这时容器内的混合液浓度为多少？

分析 第一次倒出的是纯酒精，而后两次倒出的是混合液，要想知道

最终容器中溶液的浓度，只要计算出总共倒出了多少纯酒精就可以了． 解 第二次倒出的溶液中所含纯酒精为：

10× 20 − 5 = 7.5（升）

20

第三次倒出的溶液中所含纯酒精为：

4× 20 − 5 − 7.5 = 1.5（升）

20

三次总共倒出的纯酒精为： 5+7.5+1.5=14（升）

此时容器内的溶液浓度为：

（20-14）÷20=30％

答：这时容器内混合溶液的浓度为 30％．

例 7 现有浓度为 10％和浓度为 30％的盐水，要想配制浓度为 22％ 的盐水 250 千克，需上述两种盐水各多少千克？分析 这是一个溶液混合问题，混合前后溶液的浓度改变了，但是总体上溶质及液的量均没有改变，即有混合前两种溶液重量和=混合后溶液重量

混合前溶质重量和=混合后溶质重量

解 设需 10％的盐水 x 千克，需 30％的盐水 y 千克，列方程组得：

x + y = 250

x·10% + y·30% = 250×22%

整理得x + y = 250



解得x = 100



答：需 10％的盐水 100 千克，需 30％的盐水 150 千克．上述问题也可以用只设一个未知数的方法来解：设需用 10％的盐水 x 千克，则需 30

％的盐水为（250-x）千克，列方程得x·10％+（250-x）·30％=250×22％解得：x=100

即需用 10％的盐水 100 千克，需用 30％的盐水 150 千克．

例 8 甲种酒精溶液中含有酒精 6 升，水 9 升，乙种酒精溶液中有酒精 9

升，水 3 升，要配制成 50％的酒精溶液 7 升，问两种溶液各需多少升？

解 利用浓度×溶液=溶质和混合前后溶质的量不变找等量关系．

设需甲种溶液 x 升，则需乙种溶液（7-x）升，x 升甲溶液中酒精+（7-x） 升乙溶液中酒精=混合后 7 升溶液中酒精．列方程：

6

9 + 6

• x +

9

9 + 3

（7 - x） = 7×50%

解得：x=5

答：需甲种酒精溶液 5 升，需乙种酒精溶液 2 升．

这个问题还有其它解决方法，同学们不妨自己试一试．

例 9 在浓度为 x％的盐水中加入一定重量的水，则浓度变为 10％的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变为 30

％，求 x．

分析 这个问题的解决，除去 x 外，还需要增设一些辅助未知数（也叫参数）来沟通数量关系，为列方程创造条件，然后在解方程（组）过程中再想办法消去这些参数，即：引入辅助未知数的作用是将它们当作桥．

解 设浓度为 x％的盐水重为 a，加水的重量为 b，列方程组：

x% ⋅ a = 10% ⋅ (a + b) (1)

10% ⋅ (a + b) + b = 30% ⋅ (a + 2b) (2)

由（2）得 5 ，代入（1）得

a = 2 b

x％· 5 b = 10％·（ b + b） 2

x=14

答：x=14．