第十一课 抽屉原则（一）

抽屉原则，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原则呢？我们先从一个最简单的例子谈起．

将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．

如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果．

如果将上述问题中的苹果换成兔子、糖果、书本或数，同时，将抽屉相应地换成兔笼、小孩、学生或数的集合，仍然可以得到相同的结论．由此可以看出，上面推理的正确性与具体的事物是没有关系的．如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物叫做集合， 那么上面的结论就可以叙述为：八个元素以任意方式分到七个集合之中，一定有一个集合中至少有两个元素．

同样，苹果与抽屉的具体数目也是无关紧要的，只要苹果的数量比抽屉的数量多，推理依然成立．

通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．

抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合， 那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．

应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么做为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键．

下面，我们先来看一看如何运用这一原则解决日常生活中的一些有趣的问题．

例 1 在某个单位里，任意选出 13 个人，则这 13 个人至少有两个人的属相相同．

证明 属相一共有 12 种，不妨假设 12 种属相为 12 个“抽屉”，而将

1. 个人当作 13 个“苹果”．根据抽屉原则知，有一只“抽屉“里至少放入了两个“苹果”，也就是说，至少有两个人的属相相同．

例 2 求证同一年出生的四百个人中，一定有两个人的生日相同．

分析 也许有的同学看了这个问题以后会说，只要查一查这四百个人的户口就知道了，如果我们规定不能查户口，那么，怎样才能说明其中的道理呢？其实，完全没有必要查看户口，我们只要将一年中的每一天看作一只“抽屉”，而将每一个人的生日看作一个“苹果”，这样，运用抽屉原则就可以很方便地解答此问题．

证明 把一年中的三百六十五天（闰年三百六十六天）中的每一天看作

一个“抽屉”，将四百人的每一个人的生日看成一个“苹果”，由于“苹果” 数目多于“抽屉”数目，根据抽屉原则可知，一定有一个“抽屉”里至少有两个“苹果”．也就是说，至少有两个人的生日相同．

例 3 有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？

解答 将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取 4 颗小球．

例 4 某班有 30 名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅， 问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？

解答 将 30 名同学看作 30 个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉原则，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有 31 本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书．

以上四例中有关“抽屉”和“苹果”的选择比较简单．但在很多情况下， “抽屉”和“苹果”并非一下子就能选好，而是要进行认真的分析与思考才能找到，有时“抽屉”和“苹果”的数目也不是现成的，需要我们通过分析， 才能计算出结果．

例 5 红色，黄色，绿色的球各 6 个，混杂地放在一起，要想闭着眼睛从中取出颜色不同的两对球，问至少要取多少才能保证达到要求？

分析 这个问题不能象前四例那样一下就能找到“抽屉”和“苹果”， 从而直接运用抽屉原则来解决．由于各种颜色的球混合在一起，我们又是闭着眼睛取球，这样，如果取出的球数不多于 6 个，就有可能取出的球都是同一种颜色，这是最不利的情况，因此，要保证取出颜色不同的两对球，取出的球数必须超过 6 个，为了保证达到要求，我们从最坏的情况出发，取出的

球中有 6 个都是同一种颜色，这样，问题就变成了怎样才能使余下的球中保证有两个是同颜色的．这时剩下的颜色只有两种，把两种颜色当作两只“抽屉”，而将球当作“苹果”，根据抽屉原则，只要有三个球，就能保证其中有两个是同颜色的，即在最不利的情况下，只要取出 9 个球，就能保证其中一定有两对颜色不同的小球，在其它情况下，就更无问题了．

答：至少要取出 9 个球才能达到要求．

例 6 在某班学生中，有 8 个人都订阅了《小朋友》，《少年报》，《儿

童时代》中的一种或几种，问：这 8 个人中至少有几个人所订的报刊种类完全相同？

解答 8 位同学订阅的报刊种类可分成如下 7 类：｛小朋友｝，｛少年报｝，｛儿童时代｝，｛小朋友，少年报｝，｛小朋友，儿童时代｝，｛少年报，儿童时代｝，｛小朋友，少年报，儿童时代｝

我们将这七类看作七个抽屉，订阅相同种类报刊的学生“放到”同一抽屉中，因为 8=1×7＋1，即有 1＋1=2 个订阅相同种类报刊的学生“放到”同一抽屉中，即至少有两名学生订阅的报刊种类完全相同．

例 7 能否在 6 行 6 列的方格表（如图 11—1）的每一个空格中分别填上 1、2、3 这三个数字中的任意一个，使得每一行，每一列及对角线 AC、BD 上的各个数字的和各不相同？并对你的结论加以说明．

分析 这个问题初看起来似乎与抽屉原则关系不大，但深入分析可以发现其中的密切联系．我们结合图来分析，图中 6 行 6 列及两条对角线，共有

1. 条“线”，每条“线”上都填有 6 个数字，要使各条“线”上的数字和均

不相同，那么每条“线”上数字和的取值情况应不少于 14 种．下面我们来分

析一下各条“线”上取不同和的情况有多少种．如果某一条“线”上的 6 个数字都填上最小数 1，则可得到数字和的最小值 6；如果某一条“线”上的 6 个数都填上最大的数 3，那么可得到数字和的最大值 18．由于数字及数字和均为整数，所以从 6 到 18 共有 13 种不同的值，我们将数字和的 13 种不同的

值当作 13 个抽屉，而将 14 条“线”看作 14 个“苹果”．根据抽屉原则一，

将 14 个苹果放到 13 只抽屉中，一定有一只抽屉中放入了至少两个苹果．即：

14 条线上的数字和至少有两个相同，故不可能使 14 条“线”上的各数字之和互不相同。

例 8 证明从 1，3，5，⋯，49 这前 25 个奇自然数中，任取 14 个数， 其中必有两个数之和是 52．

证明 我们先将两数之和是 52 的数对找出来，形成满足要求的前 12 个

抽屉，再由数字 1 构成第 13 个抽屉，具体构造如下：{3，49}，{5，47}，{7， 45}，{9，43}，{11，41}，{13，39}，{15，37}，{17，35}，{19，33}，{21，

31}，{23，29}，{25，27}，{1}．

根据抽屉原则〈一〉，从前 25 个奇自然数中，任取 14 个自然数，则必有两个出自同一抽屉，显然这两个数之和为 52．

说明：上述问题解决的关键在于恰当地利用数组来构造抽屉．

例 9 求证任意 10 个自然数中必存在两个数，它们的差是 9 的倍数． 证明 考虑任意一个自然数除以 9，其余数只属于 0，1，2，3，4，5，6，

7，8，这 9 种情况中的一种，将 9 个余数当作 9 只抽屉，将任意 10 个自然数

被 9 除所得余数（共 10 个）当作“苹果”，依抽屉原则〈一〉，必有两个数

被 9 除其余数相同，余数相同的两数之差必是 9 的倍数．

说明 上述问题的解决，关键在于利用同余思想来构造抽屉．

例 10 设 x1，x2，⋯，x8 是任意互异的 8 个整数，试证明其中一定存在6 个整数 x1，x2，x3，x4，x5，x6 使得（x1-x2）·（x3-x4）·（x5-x6）恰是

105 的倍数．

分析 由于 105=3×5×7，而 3，5，7 两两互质，所以只要能找到两个数 x1、x2 使得 x1-x2 是 7 的倍数，同理 x3-x4 是 5 的倍数，x5-x6 是 3 的倍数， 题目即得证．

证明 根据抽屉原则 1，在所给的 8 个整数中，必有两个数被 7 除余数

相同，不妨设这两个数为 x1，x2，则有 7|x1-x2|，或表示为：x1-x2=7k1（其中 k1 为不等于零的整数）

在余下的 6 个数中，必有两个数被 5 除余数相同，不妨设这两个数为 x3， x4，使得 x3，x4 满足 x3-x4=5k2（k2 为非零整数）．

在余下的 4 个数中，必有两个整数被 3 除余数相同，不妨设这两个整数为 x5，x6，使得 x5-x6=3k3．（k3 为非零整数）

将上述各式相乘得到：

（x1-x2）·（x3-x4）·（x5-x6）=7k1· 5k2·3k3

=105×整数

所以从给定的 8 个数中，一定可以找出 6 个数 x1，x2，x3，x4，x5，x6， 使得：

（x1-x2）·（x3-x4）·（x5-x6）是 105 的倍数．